On a, sachant que \(2\cos\theta = e^{i\theta}+e^{-i\theta}\): \[W_n = {1\over 4}\int_0^{2\pi } \cos^{2n}\theta\,d\theta = {1\over 2^{2n+2}} \int_C \left(z+{1\over z}\right)^{2n}\ {dz\over iz}\] où \(C\) est le cercle trigonométrique et \(z=e^{i\theta}\). En posant \[f(z) = {1\over z} \left(z+{1\over z}\right)^{2n}\] on a immédiatement \[W_n = {\pi \over 2^{2n+1}} \mbox{\rm Res}(f, 0)\] car \(0\) est le seul pôle de \(f\). Le résidu est en fait le coefficient en \(1/z\) dans le développement de \(f\), c’est-à-dire le coefficient constant dans \((z+1/z)^{2n}\), soit par la formule du binôme, \(C_{2n}^n\). Donc \[W_n = {\pi \over 2^{2n+1}} {(2n)!\over (n!)^2}.\]

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