On a, sachant que $2\cos\theta = e^{i\theta}+e^{-i\theta}$ : $W_n = {1\over 4}\int_0^{2\pi } \cos^{2n}\theta\,d\theta = {1\over 2^{2n+2}} \int_C \left(z+{1\over z}\right)^{2n}\ {dz\over iz}$ où $C$ est le cercle trigonométrique et $z=e^{i\theta}$ . En posant $f(z) = {1\over z} \left(z+{1\over z}\right)^{2n}$ on a immédiatement $W_n = {\pi \over 2^{2n+1}} \mbox{\rm Res}(f, 0)$ car $0$ est le seul pôle de $f$ . Le résidu est en fait le coefficient en $1/z$ dans le développement de $f$ , c’est-à-dire le coefficient constant dans $(z+1/z)^{2n}$ , soit par la formule du binôme, $C_{2n}^n$ . Donc $W_n = {\pi \over 2^{2n+1}} {(2n)!\over (n!)^2}.$

exo7 2674