exo7 6808

Montrer que, pour tout $\theta$ tel que $0\le \theta \le \pi/2$, on a : $0\le 2\theta/\pi \le \sin \theta \le \theta$.

Soit $\gamma_\epsilon$ le demi-cercle de rayon $\epsilon>0$, de centre 0, situé dans le demi-plan $\Im\ z\ge 0$. Démontrer que $\lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_{\gamma_\epsilon} f(z)\,dz = 0$.

Soit $\gamma_R$ le demi-cercle de rayon $R>0$, de centre 0, situé dans le demi-plan $\Im z\ge 0$. Démontrer que $\lim_{R\to \infty} \int_{\gamma_R} f(z)\,dz = 0$.

En intégrant $f$ sur le bord du domaine $\epsilon\le |z| \le R$, $0\le \arg(z) \le \pi$, déduire de ce qui précède que l’intégrale $$I(\alpha) = \int_0^\infty \frac{x^\alpha \cos(x-\frac{\alpha\pi}2)}{1+x^2}\,dx$$ est convergente et en même temps calculer sa valeur.