Soit \(\alpha\) un réel tel que \(-1< \alpha < 2\), et soit \(f: \Cc\setminus\{it\mid t\in \,]-\infty,0]\,\}\) définie par \[f(z) = \frac{e^{iz} e^{\alpha\log z}}{1+z^2}\ ,\] où \(\log z\) désigne la branche uniforme du logarithme complexe qui est réelle pour \(z\) réel strictement positif, avec \(-\pi/2 < \arg z < 3\pi/2\).
Montrer que, pour tout \(\theta\) tel que \(0\le \theta \le \pi/2\), on a : \(0\le 2\theta/\pi \le \sin \theta \le \theta\).
Soit \(\gamma_\epsilon\) le demi-cercle de rayon \(\epsilon>0\), de centre 0, situé dans le demi-plan \(\Im\ z\ge 0\). Démontrer que \(\lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_{\gamma_\epsilon} f(z)\,dz = 0\).
Soit \(\gamma_R\) le demi-cercle de rayon \(R>0\), de centre 0, situé dans le demi-plan \(\Im z\ge 0\). Démontrer que \(\lim_{R\to \infty} \int_{\gamma_R} f(z)\,dz = 0\).
En intégrant \(f\) sur le bord du domaine \(\epsilon\le |z| \le R\), \(0\le \arg(z) \le \pi\), déduire de ce qui précède que l’intégrale \[I(\alpha) = \int_0^\infty \frac{x^\alpha \cos(x-\frac{\alpha\pi}2)}{1+x^2}\,dx\] est convergente et en même temps calculer sa valeur.