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Prouver pour $n\in\Nn$, $n>1$: $$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^n} = \frac{\pi/n}{\sin (\pi/n)}$$ en utilisant le secteur angulaire $0\leq \mathrm{Arg} z\leq \frac{2\pi}n$, $0\leq |z|\leq R$, $R\to+\infty$, et en montrant que la contribution de l’arc de cercle tend vers zéro pour $R\to+\infty$.

Montrer, en utilisant les contours $\epsilon\leq x\leq R$, $z= Re^{i\theta}$ ($0\leq \theta \leq \frac{2\pi}a$), $z=r e^{i\frac{2\pi}a}$ ($R\geq r\geq \epsilon)$, $z = \epsilon e^{i\theta}$ ($\frac{2\pi}a \geq \theta \geq 0$): $$a\in\Rr,\; a>1\quad\implies\qquad\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^a} = \frac{\pi/a}{\sin (\pi/a)}\;.$$ Pour définir $z^a$ comme fonction holomorphe sur $\{ z = r e^{i\alpha}\,|\, 0<r<\infty,\;0\leq \alpha \leq \frac{2\pi}a\}$, on pose $z^a = r^a e^{a\,i\alpha} = \exp(a(\log r+i\alpha))$ (car $\log r + i\alpha = \mathrm{Log}(z e^{-i\frac\pi a}) + i\frac\pi a$; no comments).

Soit $J(a) = \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^a}$; justifier que l’intégrale définissant $J(a)$ est convergente et analytique comme fonction de $a$ pour $\Re(a)>1$ et prouver $J(a) = \frac{\pi/a}{\sin (\pi/a)}$.

On définit maintenant $$K(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{pt}}{1+e^t}dt$$ pour $0<p<1$. Justifier les identités (pour $0<p<1$): $$K(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{pt}}{1+e^t}dt = \int_0^{+\infty} \frac{t^{p-1}}{1+t}dt = \frac1p \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+t^{1/p}} = \frac1p J(\frac1p) = \frac\pi{\sin(\pi p)}$$

Expliquer pourquoi l’intégrale $K(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{pt}}{1+e^t}dt$ est convergente et analytique pour $p$ complexe avec $0<\Re(p)<1$ et établir la formule $K(p) = \frac\pi{\sin(\pi p)}$ pour $0<\Re(p)<1$.

Donner une preuve simple directe de la formule $K(p) = \frac\pi{\sin(\pi p)}$ pour tout $p$ complexe avec $0<\Re(p)<1$ en appliquant le théorème des résidus avec des contours liés aux droites $z=x$, $x\in\Rr$ et $z = x+2\pi i$, $x\in\Rr$.

Déduire de ce qui précède avec $p = \frac12 + i\xi$, $\xi\in\Rr$: $$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(\xi t)}{\ch(t/2)}dt = \frac{2\pi}{\ch(\pi\xi)}\;,$$ Montrer que la transformation de Fourier $\widehat f(\xi)=\int_\Rr e^{2\pi i \xi x} f(x)\,dx$ appliquée à la fonction $f(x) = \frac1{\ch(\pi x)}$ donne simplement $\widehat f = f$ (remarque: c’est aussi le cas avec $f(x) = e^{-\pi x^2}$).

On revient à la formule générale $K(p)= \frac\pi{\sin(\pi p)}$. En séparant parties réelles et imaginaires dans $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{pt}}{1+e^t}dt$ déterminer (en simplifiant le plus possible) les valeurs de : $$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{u t}\cos(vt)}{1+e^t}dt\qquad,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{u t}\sin(vt)}{1+e^t}dt\;,$$ pour $0<u<1$, $v\in\Rr$.