Prouver pour \(n\in\Nn\), \(n>1\): \[\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^n} = \frac{\pi/n}{\sin (\pi/n)}\] en utilisant le secteur angulaire \(0\leq \mathrm{Arg} z\leq \frac{2\pi}n\), \(0\leq |z|\leq R\), \(R\to+\infty\), et en montrant que la contribution de l’arc de cercle tend vers zéro pour \(R\to+\infty\).
Montrer, en utilisant les contours \(\epsilon\leq x\leq R\), \(z= Re^{i\theta}\) (\(0\leq \theta \leq \frac{2\pi}a\)), \(z=r e^{i\frac{2\pi}a}\) (\(R\geq r\geq \epsilon)\), \(z = \epsilon e^{i\theta}\) (\(\frac{2\pi}a \geq \theta \geq 0\)): \[a\in\Rr,\; a>1\quad\implies\qquad\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^a} = \frac{\pi/a}{\sin (\pi/a)}\;.\] Pour définir \(z^a\) comme fonction holomorphe sur \(\{ z = r e^{i\alpha}\,|\, 0<r<\infty,\;0\leq \alpha \leq \frac{2\pi}a\}\), on pose \(z^a = r^a e^{a\,i\alpha} = \exp(a(\log r+i\alpha))\) (car \(\log r + i\alpha = \mathrm{Log}(z e^{-i\frac\pi a}) + i\frac\pi a\); no comments).
Soit \(J(a) = \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^a}\); justifier que l’intégrale définissant \(J(a)\) est convergente et analytique comme fonction de \(a\) pour \(\Re(a)>1\) et prouver \(J(a) = \frac{\pi/a}{\sin (\pi/a)}\).
On définit maintenant \[K(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{pt}}{1+e^t}dt\] pour \(0<p<1\). Justifier les identités (pour \(0<p<1\)): \[K(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{pt}}{1+e^t}dt = \int_0^{+\infty} \frac{t^{p-1}}{1+t}dt = \frac1p \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+t^{1/p}} = \frac1p J(\frac1p) = \frac\pi{\sin(\pi p)}\]
Expliquer pourquoi l’intégrale \(K(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{pt}}{1+e^t}dt\) est convergente et analytique pour \(p\) complexe avec \(0<\Re(p)<1\) et établir la formule \(K(p) = \frac\pi{\sin(\pi p)}\) pour \(0<\Re(p)<1\).
Donner une preuve simple directe de la formule \(K(p) = \frac\pi{\sin(\pi p)}\) pour tout \(p\) complexe avec \(0<\Re(p)<1\) en appliquant le théorème des résidus avec des contours liés aux droites \(z=x\), \(x\in\Rr\) et \(z = x+2\pi i\), \(x\in\Rr\).
Déduire de ce qui précède avec \(p = \frac12 + i\xi\), \(\xi\in\Rr\): \[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(\xi t)}{\ch(t/2)}dt = \frac{2\pi}{\ch(\pi\xi)}\;,\] Montrer que la transformation de Fourier \(\widehat f(\xi)=\int_\Rr e^{2\pi i \xi x} f(x)\,dx\) appliquée à la fonction \(f(x) = \frac1{\ch(\pi x)}\) donne simplement \(\widehat f = f\) (remarque: c’est aussi le cas avec \(f(x) = e^{-\pi x^2}\)).
On revient à la formule générale \(K(p)= \frac\pi{\sin(\pi p)}\). En séparant parties réelles et imaginaires dans \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{pt}}{1+e^t}dt\) déterminer (en simplifiant le plus possible) les valeurs de : \[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{u t}\cos(vt)}{1+e^t}dt\qquad,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{u t}\sin(vt)}{1+e^t}dt\;,\] pour \(0<u<1\), \(v\in\Rr\).