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Que vaut $\Gamma(\frac12) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{\sqrt t}dt$? (faire un changement de variable $t=\pi u^2$ pour se ramener à la Gaussienne). En considérant un contour passant par l’axe réel, puis un quart de cercle, puis l’axe imaginaire, puis un petit quart de cercle évitant l’origine prouver: $$\int_0^\infty \frac{e^{-t}}{\sqrt t}dt = \exp(i\frac\pi4)\int_0^\infty\frac{e^{-ix}}{\sqrt x}dx$$ et en déduire les valeurs des intégrales $\int_0^\infty \frac{\cos x}{\sqrt x}dx$ et $\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt x}dx$ (qui ne sont que semi-convergentes). Comparer aux intégrales de Fresnel.