exo7 6750

Exprimer $\sum\hbox{Res}({P\over Q})$ à l’aide des coefficients de $P$ et $Q$.

Soit $P(z)=z^n+\sum_0^{n-1}a_kz^k$ un polynôme dont toutes les racines sont dans $D(0,R)$. Montrer que $f(x)=\displaystyle{1\over 2i\pi}\int_{\Gamma_R}{e^{xz}\over P(z)}\ dz$ est la solution de l’équation différentielle d’ordre $n$, $y^{(n)}+ a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=0$ de condition initiale $y^{(j)}(0)=0$ si $j<n-1$ et $y^{(n-1)}(0)=1$.