Soit \(a\) un réel tel que \(0 \le a < 1\).
Démontrer que les intégrales \(I(a) = \int_0^{+\infty} \frac{\sinh(ax)}{\sinh x} \,dx\) et \(J(a) = \int_0^{+\infty} \frac{\cosh(ax)}{\cosh x} \,dx\) sont convergentes (\(\sinh\) et \(\cosh\) désignent les sinus et cosinus hyperboliques).
Soit \(\epsilon\) et \(R\) des réels tels que \(0<\epsilon < \frac\pi2 < R\), soit \(f(z)\) la fonction \(f(z) = \frac{e^{az}}{e^z - e^{-z}}\) et soit \(K_{\epsilon,R} \subset \Cc\) le compact obtenu en ôtant la demi-boule ouverte de centre 0 et de rayon \(\epsilon\) du rectangle de sommets \(R\), \(R + i\frac\pi2\), \(-R + i\frac\pi2\), \(-R\).
Démontrer que \({ \lim_{R\to +\infty}}\int_\gamma f(z)\,dz = 0\) lorsque \(\gamma\) est (i) le côté du rectangle joignant \(R\) à \(R + i\frac\pi2\) et (ii) le côté du rectangle joignant \(-R + i\frac\pi2\) à \(-R\).
Calculer le résidu de \(f\) en 0.
Du calcul de l’intégrale de \(f\) le long du bord orienté de \(K_{\epsilon,R}\) et de sa limite quand \(\epsilon \to 0\) et \(R \to +\infty\), déduire \(J(a)\) et \(I(a)\).