exo7 6811

Démontrer que les intégrales $I(a) = \int_0^{+\infty} \frac{\sinh(ax)}{\sinh x} \,dx$ et $J(a) = \int_0^{+\infty} \frac{\cosh(ax)}{\cosh x} \,dx$ sont convergentes ($\sinh$ et $\cosh$ désignent les sinus et cosinus hyperboliques).

Soit $\epsilon$ et $R$ des réels tels que $0<\epsilon < \frac\pi2 < R$, soit $f(z)$ la fonction $f(z) = \frac{e^{az}}{e^z - e^{-z}}$ et soit $K_{\epsilon,R} \subset \Cc$ le compact obtenu en ôtant la demi-boule ouverte de centre 0 et de rayon $\epsilon$ du rectangle de sommets $R$, $R + i\frac\pi2$, $-R + i\frac\pi2$, $-R$.

Démontrer que ${ \lim_{R\to +\infty}}\int_\gamma f(z)\,dz = 0$ lorsque $\gamma$ est (i) le côté du rectangle joignant $R$ à $R + i\frac\pi2$ et (ii) le côté du rectangle joignant $-R + i\frac\pi2$ à $-R$.

Calculer le résidu de $f$ en 0.

Du calcul de l’intégrale de $f$ le long du bord orienté de $K_{\epsilon,R}$ et de sa limite quand $\epsilon \to 0$ et $R \to +\infty$, déduire $J(a)$ et $I(a)$.