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Calculer la transformée de Fourier de $\displaystyle{1\over1+x^4}$ en intégrant $\displaystyle e^{itz}\over1+z^4$ sur un demi-cercle dans un demi-plan bien choisi.

Calculer $\displaystyle I(m,a)=\int_0^{+\infty}{\cos mx\over(1+x^2)(x^2+a^2)}\ dx$ en distinguant les cas $a=1, a\not=1$. Vérifier que $I(m,1)=\lim_{a\to1}I(m,a)$.

En déduire sans nouveaux calculs la valeur de $\displaystyle\int_0^{+\infty}{x\sin mx\over(1+x^2)^2}\ dx$.