Soit $f(z) = \mathrm{Log} (z)$ . Alors $\begin{aligned} f'(z) &=& \frac{1}{z} = \frac{1}{z_0 - (z_0-z)} = \frac{1}{z_0}\frac{1}{1 - \frac{z_0-z}{z_0}} \\ &=& \frac{1}{z_0}\sum_{k\geq 0} \frac{1}{z_0^k} (z_0-z)^k \quad \text{ pour } \quad |z-z_0|<|z_0|. \end{aligned}$ Notons que $\{ z\in \C \, ; \; |z-z_0|<|z_0|\} = D (z_0 , |z_0| )$ est optimal car on ne peut prolonger $\mathrm{Log} (z)$ en $0$ . Le développement est : $f(z) = \mathrm{Log}(z_0)- \sum_{k\geq 1} \frac{(-1)^k}{kz_0^k} (z-z_0)^k.$ En ce qui concerne la deuxième question, la réponse est NON. D’après le cours $f$ coincide avec sa série de Taylor si $D(z_0, R) \subset \Omega$ . Or, si $\Re (z_0)<0$ , ce n’est pas le cas et $D(z_0 , |z_0|)\cap ]-\infty , 0[ \neq \emptyset$ . Le $\mathrm{Log}$ et la série de Taylor ne coincident pas dans $D(z_0,|z_0|)\cap \Omega$ puisque le $\mathrm{Log}$ ne peut être prolongé de manière continu dans aucun point de $]-\infty, 0[$ . Remarquons qu’ici $D(z_0,|z_0|)\cap \Omega$ n’est pas connexe ce qui est cruciale dans l’exercice [ex:burnol1.4].

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