Dans le calcul des intégrales on est souvent confronté à des passages à la limite (du genre $\lim_{R\to \infty } \int_{C_R} f(z) \, dz$ ou $\lim_{r\to 0 } \int_{C_r} f(z) \, dz$ dans le cas ou $0$ est une singularité que l’on contourne, $C_R$ un morceaux de cercle comme dans les exercices ici). Cet exercice et le suivant donnent des outils très pratiques pour ce genre de calculs.
Si $f$ a $z_0$ comme pôle simple, sa série de Laurent en $z_0$ est de la forme $f(z) = a_{-1}(z-z_0)^{-1} +a_0 +a_1(z-z_0)+.... =\sum_{k\geq -1} a_k (z-z_0)^k .$ Par convergence normale de cette série $\begin{aligned} \int_{C_r(\alpha , \beta )} f(z) \, dz &=& \sum_{k\geq -1} a_k \int_{C_r(\alpha , \beta )} (z-z_0)^k \, dz = \sum_{k\geq -1} a_k \int_\alpha ^\beta (re^{i\theta })^k ire^{i\theta } \, d\theta \\ &=& ia_{-1}(\beta -\alpha ) + r\sum_{k\geq 0}\left( r^k a_{k}\frac{e^{i(k+1)\beta } -e^{i(k+1)\alpha } }{(k+1)} \right). \end{aligned}$ On en déduit l’enoncé de l’exercice en observant que $\left| \frac{e^{i(k+1)\beta } -e^{i(k+1)\alpha } }{(k+1)} \right| \leq \frac{2}{k+1}$ et en faisant tendre $r\to 0$ .

exo7 2858