Soit \(D\) un ouvert de \(\Cc\) et \(f : D\to\Cc\) une application holomorphe. Soit \(T\) un triangle (plein) inclus dans le domaine \(D\). On notera \(p\) son périmètre. Le but de l’exercice est de montrer que \[\int_{\partial T}f(z)dz=0.\]
En considérant les quatre triangles obtenus en traçant les segments entre deux milieux de côtés de \(T\), montrer que pour l’un de ces triangles noté \(T_1\), \[|\int_{\partial T}f(z)dz|\leq 4|\int_{\partial T_1}f(z)dz|.\]
En itérant cette construction, montrer que pour tout \(n\), il existe un triangle \(T_n\subset T_{n-1}\) de périmètre \(\frac{p}{2^n}\) tel que \[|\int_{\partial T}f(z)dz|\leq 4^n|\int_{\partial T_1}f(z)dz|.\]
Montrer que l’intersection des \(T_n\) est un point \(c\) de \(D\).
Montrer qu’un existe une fonction continue \(h\) sur \(D\) nulle en \(c\) telle que pour tout \(z\in D\), \[f(z)=f(c)+(z-c)f'(c)+(z-c)h(z).\]
Calculer \(\int_{\partial T_n}f(c)dz\) et \(\int_{\partial T_n}(z-c)f'(c)dz\).
Montrer que pour tout \(\epsilon >0\) il existe \(N\) tel que pour \(n\geq N\),\[|\int_{\partial T_n}(z-c)h(z)dz|\leq (\frac{p}{2^n})^2\varepsilon.\]
Conclure.
Montrer en choisissant un découpage de \(T\) avec un petit triangle autour de \(a\) que si \(f : D\to\Cc\) est une application continue et holomorphe sur \(D-\{a\}\), alors pour tout triangle de sommet \(a\) dans \(D\), \(\int_{\partial T}f(z)dz=0\).