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En considérant les quatre triangles obtenus en traçant les segments entre deux milieux de côtés de $T$, montrer que pour l’un de ces triangles noté $T_1$, $$|\int_{\partial T}f(z)dz|\leq 4|\int_{\partial T_1}f(z)dz|.$$

En itérant cette construction, montrer que pour tout $n$, il existe un triangle $T_n\subset T_{n-1}$ de périmètre $\frac{p}{2^n}$ tel que $$|\int_{\partial T}f(z)dz|\leq 4^n|\int_{\partial T_1}f(z)dz|.$$

Montrer que l’intersection des $T_n$ est un point $c$ de $D$.

Montrer qu’un existe une fonction continue $h$ sur $D$ nulle en $c$ telle que pour tout $z\in D$, $$f(z)=f(c)+(z-c)f'(c)+(z-c)h(z).$$

Calculer $\int_{\partial T_n}f(c)dz$ et $\int_{\partial T_n}(z-c)f'(c)dz$.

Montrer que pour tout $\epsilon >0$ il existe $N$ tel que pour $n\geq N$,$$|\int_{\partial T_n}(z-c)h(z)dz|\leq (\frac{p}{2^n})^2\varepsilon.$$

Conclure.

Montrer en choisissant un découpage de $T$ avec un petit triangle autour de $a$ que si $f : D\to\Cc$ est une application continue et holomorphe sur $D-\{a\}$, alors pour tout triangle de sommet $a$ dans $D$, $\int_{\partial T}f(z)dz=0$.