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Prouver, pour tout $x\in \Rr$: $$\frac1{2\pi}\int_\Rr e^{-i\xi x}(\pi e^{-|\xi|})d\xi = \frac1{1+x^2}\;.$$ Il suffit d’évaluer séparément $\int_{-\infty}^0$ et $\int_0^\infty$ en utilisant le fait que $\exp$ est sa propre primitive (ce calcul n’utilise donc pas la notion de fonction analytique et le théorème des résidus). On remarquera que l’on retombe sur la fonction $1/(1+x^2)$, ce qui n’est pas un hasard (formule d’inversion pour les transformations intégrales de Fourier).