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Prouver, pour tout \(x\in \Rr\): \[\frac1{2\pi}\int_\Rr e^{-i\xi x}(\pi e^{-|\xi|})d\xi = \frac1{1+x^2}\;.\] Il suffit d’évaluer séparément \(\int_{-\infty}^0\) et \(\int_0^\infty\) en utilisant le fait que \(\exp\) est sa propre primitive (ce calcul n’utilise donc pas la notion de fonction analytique et le théorème des résidus). On remarquera que l’on retombe sur la fonction \(1/(1+x^2)\), ce qui n’est pas un hasard (formule d’inversion pour les transformations intégrales de Fourier).