On considère un lacet \(\gamma:[a,b] \to\Cc\setminus\{0\}\) (donc ne passant pas par l’origine). On suppose qu’il n’existe qu’un nombre fini de \(t\in [a,b]\) avec \(\gamma(t) \in \Delta = ]-\infty,0[\). On les note \(t_0<t_1<\dots <t_N\). Pour simplifier on supposera que \(\gamma(a)\) est sur \(\Delta\), donc \(t_0 =a\) et \(t_N=b\). Montrer que pour \(t=t_j-\epsilon\), \(\epsilon>0\) suffisamment petit, le signe \(\mu_j\) de \(\Im(\gamma(t_j-\epsilon))\) ne dépend pas de \(\epsilon\), et de même pour le signe \(\mu_j'\) de \(\Im(\gamma(t_j+\epsilon))\) (préciser ce que l’on fait pour \(j=0\) et \(j=N\)).
Si \(\mu_j=+\) et \(\mu_j' = -\) on dit que \(\gamma\) traverse \(\Delta\) en \(t=t_j\) dans le sens direct, si \(\mu_j=-\) et \(\mu_j'=+\) on dit que \(\gamma\) traverse \(\Delta\) en \(t=t_j\) dans le sens rétrograde. Sinon on dit que \(\gamma\) touche mais ne traverse pas \(\Delta\). En utilisant la relation entre la fonction \(\mathrm{Log}(\gamma(t))\) et la variation de l’argument de \(\gamma(t)\) sur chaque intervalle \(]t_j,t_{j+1}[\), prouver \(\Delta_{\gamma_j} \arg(z) = \pi(\mu_{j+1} - \mu_j')\) avec \(\gamma_j=\gamma\) restreint à \([t_j,t_{j+1}]\).
En déduire que \(\mathrm{Ind}(\gamma,0)\) est égal au nombre de valeurs de \(t\) (\(a\) et \(b\) ne comptent que pour un seul) pour lesquelles \(\gamma\) traverse \(\Delta\), comptées positivement si la traversée est directe, négativement si la traversée est rétrograde.
Dans la pratique vous pourrez utiliser n’importe quelle demi-droite issue de l’origine à la place de \(\Delta\) à partir du moment où elle n’intersecte le lacet \(\gamma\) qu’en un nombre fini de points (si on n’impose pas au lacet d’être régulier, c’est-à-dire d’avoir un vecteur vitesse partout non nul, alors il peut rester figé en un même point un certain temps, et donc il faut modifier un petit peu la discussion ci-dessus qui suppose qu’il n’y a qu’un nombre fini de valeurs de \(t\) pour lesquels \(\gamma(t)\) est sur la demi-droite).