Soit \(f\) une fonction entière vérifiant \(\lim_{|z|\to\infty} |f(z)| = +\infty\). Donner plusieurs démonstrations que \(f\) est un polynôme:
en montrant, par un théorème du cours, que \(w=0\) est une singularité polaire de \(g(w) = f(\frac1w)\), et en en déduisant qu’il existe un polynôme \(P\) tel que \(f(z) - P(z)\) tende vers \(0\) pour \(|z|\to\infty\), puis Liouville,
ou en montrant que \(f\) n’a qu’un nombre fini de zéros \(z_j\), \(1\leq j\leq n\), et en appliquant à \((z-z_1)\dots (z- z_n)/f(z)\) le résultat de l’exercice précédent, plus quelques réflexions de conclusion pour achever la preuve.
Montrer que la fonction entière \(z+e^z\) tend vers l’infini le long de tout rayon partant de l’origine. D’après ce qui précède \(z+e^z\) est donc un polynôme. Commentaires?