exo7 2831

Soit $f$ une fonction entière vérifiant $\lim_{|z|\to\infty} |f(z)| = +\infty$. Donner plusieurs démonstrations que $f$ est un polynôme:

• en montrant, par un théorème du cours, que $w=0$ est une singularité polaire de $g(w) = f(\frac1w)$, et en en déduisant qu’il existe un polynôme $P$ tel que $f(z) - P(z)$ tende vers $0$ pour $|z|\to\infty$, puis Liouville,

• ou en montrant que $f$ n’a qu’un nombre fini de zéros $z_j$, $1\leq j\leq n$, et en appliquant à $(z-z_1)\dots (z- z_n)/f(z)$ le résultat de l’exercice précédent, plus quelques réflexions de conclusion pour achever la preuve.