Soit $x\in\Rr$ . La fonction $t\mapsto\mbox{Max}(x,t)=\frac{1}{2}(x+t+|x-t|)$ est continue sur $[0,1]$ en vertu de théorèmes généraux. Par suite, $\int_{0}^{1}\mbox{Max}(x,t)\;dt$ existe.

Si $x\leq0$ , alors $\forall t\in[0,1]$ , $x\leq t$ et donc $\mbox{Max}(x,t)=t$ . Par suite, $f(x)=\int_{0}^{1}t\;dt=\frac{1}{2}$ .

Si $x\geq1$ , alors $\forall t\in[0,1]$ , $t\leq x$ et donc $\mbox{Max}(x,t)=x$ . Par suite, $f(x)=\int_{0}^{1}x\;dt=x$ .

Si $0<x<1$ ,

$f(x)=\int_{0}^{x}x\;dt+\int_{x}^{1}t\;dt=x^2+\frac{1}{2}(1-x^2)=\frac{1}{2}(1+x^2).$

En résumé, $\forall x\in\Rr,\;f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}\;\mbox{si}\;x\leq0\\ \frac{1}{2}(1+x^2)\;\mbox{si}\;0<x<1\\ x\;\mbox{si}\;x\geq1 \end{array} \right.$ .

$f$ est déjà continue sur $]-\infty,0]$ , $[1,+\infty[$ et $]0,1[$ . De plus, $f(0^+)=\frac{1}{2}=f(0)$ et $f(1^-)=1=f(1)$ . $f$ est ainsi continue à droite en $0$ et continue à gauche en $1$ et donc sur $\Rr$ .

$f$ est de classe $C^1$ sur $]-\infty,0]$ , $[1,+\infty[$ et $]0,1[$ . De plus, $\lim_{x\rightarrow 0,\;x>0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0,\;x>0}x=0$ . $f$ est donc continue sur $[0,1[$ de classe $C^1$ sur $]0,1[$ et $f'$ a une limite réelle quand $x$ tend vers $0$ . D’après un théorème classique d’analyse, $f$ est de classe $C^1$ sur $[0,1[$ et en particulier, $f$ est dérivable à droite en $0$ et ${f'}_{d}(0)=0$ . Comme d’autre part, $f$ est dérivable à gauche en $0$ et que ${f'}_{g}(0)=0={f'}_{d}(0)$ , $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=0$ .

L’étude en $1$ montre que $f$ est dérivable en $1$ et que $f'(1)=1$ . Le graphe de $f$ est le suivant :

\[\]

exo7 5473