Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs, tels que \(b\neq 0\). L’objectif de cet exercice est de montrer qu’il existe deux entiers \(q\) et \(r\), uniques, tels que \(a=bq+r\) avec \(0\leq r < |b|\).
1
Montrer que, sous réserve d’existence, \(q\) et \(r\) sont uniques.
2
On suppose que \(a\) et \(b\) sont deux entiers naturels non nuls. On note \(A=\left \{ n\in \N,\,nb>a \right \}\).
Justifier que \(A\) admet un minimum, que l’on note \(m\).
On pose \(q=m-1\) et \(r=a-bq\). Montrer que \(0 \leq r < b\) et conclure.
3
Montrer l’existence dans le cas général.