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Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de $\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Caractériser le sous-groupe $a \mathbb{Z}\cap b \mathbb{Z}$. Caractériser les sous-groupes suivants : $$2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}\;; \quad 5 \mathbb{Z}\cap 13\mathbb{Z}\;; \quad 5 \mathbb{Z}\cap 25\mathbb{Z}.$$

Montrer que toute intersection de sous-groupes de $\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Caractériser l’intersection d’une famille finie de sous-groupes. Caractériser les sous-groupes suivants : $$\bigcap_{n=1}^{17} 2^n \mathbb{Z}\;;\quad 4 \mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}\cap 8\mathbb{Z}\cap 19\mathbb{Z}\cap 35\mathbb{Z}.$$