1
Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\). Caractériser le sous-groupe \(a \mathbb{Z}\cap b \mathbb{Z}\). Caractériser les sous-groupes suivants : \[2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}\;; \quad 5 \mathbb{Z}\cap 13\mathbb{Z}\;; \quad 5 \mathbb{Z}\cap 25\mathbb{Z}.\]
2
Montrer que toute intersection de sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\). Caractériser l’intersection d’une famille finie de sous-groupes. Caractériser les sous-groupes suivants : \[\bigcap_{n=1}^{17} 2^n \mathbb{Z}\;;\quad 4 \mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}\cap 8\mathbb{Z}\cap 19\mathbb{Z}\cap 35\mathbb{Z}.\]