Soit $n\in\Nn$ . La division euclidienne de $n$ par $25$ fournit un quotient entier $q$ et et un reste $r$ élément de $\{0,1,...,24\}$ tels que $n=25q+r$ .

On a alors

$E(\frac{1}{3}(n+2-E(\frac{n}{25})))=E(\frac{25q+r+2-q}{3})=E(8q+\frac{r+2}{3})=8q+E(\frac{r+2}{3}),$

et

$E(\frac{8n+24}{25})=E(\frac{8(25q+r)+24}{25})=8q+E(\frac{8r+24}{25}).$

Pour montrer l’égalité de l’énoncé, il reste donc à vérifier les $25$ égalités $E(\frac{r+2}{3})=E(\frac{8r+24}{25})$ , $0\leq r\leq 24$ , $(*)$ , ce qui peut déjà se vérifier à la main .

Diminuons encore le nombre de vérifications. La division euclidienne de $r$ par $3$ s’écrit $r=3k+l$ avec $0\leq l\leq2$ . Mais alors,

$E(\frac{r+2}{3})=k+E(\frac{l+2}{3})\;\mbox{et}\;E(\frac{8r+24}{25})=E(\frac{25k-k+8l+24}{25})=k+E(\frac{-k+8l+ 24}{25}).$

Si $l=0$ , $k$ varie de $0$ à $8$ et dans ce cas, $0\leq\frac{-k+24}{25}=\frac{-k+8l+24}{25}\leq\frac{24}{25}<1$ . Par suite,

$E(\frac{-k+8l+24}{25})=0=E(\frac{2}{3})=E(\frac{l+2}{3}).$

On a ainsi vérifié $(*)$ quand $r\in\{0,3,6,9,12,15,18,21,24\}$ .

Si $l=1$ ou $l=2$ , $E(\frac{l+2}{3})=1$ et d’autre part, $k$ varie de $0$ à $7$ . Dans ce cas,

$1=\frac{-7+8+24}{25}\leq\frac{-k+8l+24}{25}\leq\frac{16+24}{25}<2$

et donc

$E(\frac{-k+8l+24}{25})=1=E(\frac{l+2}{3}).$

On a ainsi vérifié $(*)$ pour les autres valeurs de $r$ . Finalement, on a montré que

$\forall n\in\Nn,\;E(\frac{1}{3}(n+2-E(\frac{n}{25})))=E(\frac{8n+24}{25}).$

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