1
Étudier la suite \((z_{n})_{n\in \Nn}\) définie par: \(z_{0}=4,\) \(z_{n+1}=f(z_{n})\) où \(f\) est l’application de \(\Cc\) sur lui-même définie par : \[\forall z\in \Cc,f(z)=i+\frac{1}{4}(1-i\sqrt{3})z.\] Indication : on commencera par rechercher les coordonnées cartésiennes de l’unique point \(\alpha\) tel que \(f(\alpha )=\alpha\), puis on s’intéressera à la suite \((x_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : \[\forall n\in \Nn,x_{n}=z_{n}-\alpha .\]
2
On pose \(\forall n\in \Nn,l_{n}=\left| z_{n+1}-z_{n}\right|\). Calculer \[\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=0}^{n}l_{k}\] et interpréter géométriquement.