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Étudier la suite $(z_{n})_{n\in \Nn}$ définie par: $z_{0}=4,$ $z_{n+1}=f(z_{n})$ où $f$ est l’application de $\Cc$ sur lui-même définie par : $$\forall z\in \Cc,f(z)=i+\frac{1}{4}(1-i\sqrt{3})z.$$ Indication : on commencera par rechercher les coordonnées cartésiennes de l’unique point $\alpha$ tel que $f(\alpha )=\alpha$, puis on s’intéressera à la suite $(x_{n})_{n\in \Nn}$ définie par : $$\forall n\in \Nn,x_{n}=z_{n}-\alpha .$$

On pose $\forall n\in \Nn,l_{n}=\left| z_{n+1}-z_{n}\right|$. Calculer $$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=0}^{n}l_{k}$$ et interpréter géométriquement.