\(A\) et \(B\) sont deux parties non vides et majorées de \(\Rr\) et admettent donc des bornes supérieures notées respectivement \(\alpha\) et \(\beta\). Pour tout \((a,b)\in A\times B\), on a \(a+b\leq\alpha+\beta\). Ceci montre que \(A+B\) est une partie non vide et majorée de \(\Rr\), et donc que \(\mbox{sup}(A+B)\) existe dans \(\Rr\). (De plus, puisque \(\alpha+\beta\) est un majorant de \(A+B\), on a déjà \(\mbox{sup}(A+B)\leq\alpha+\beta\)). Soit alors \(\varepsilon>0\). Il existe \(a\in A\) et \(b\in B\) tels que \(\alpha-\frac{\varepsilon}{2}<a\leq\alpha\) et \(\beta-\frac{\varepsilon}{2}<b\leq\beta\), et donc tels que \(\alpha+\beta-\varepsilon<a+b\leq\alpha+\beta\).

En résumé,

(1) \(\forall(a,b)\in A\times B,\;a+b\leq\alpha+\beta\) et (2) \(\forall\varepsilon>0,\;\exists(a,b)\in A\times B/\;a+b>\alpha+\beta-\varepsilon\).

On en déduit que

Pour les bornes inférieures, on peut refaire le travail précédent en l’adaptant ou appliquer le résultat précédent aux ensembles \(-A\) et \(-B\) car \(\text{Inf}A=-\text{sup}(-A)\).

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