$A$ et $B$ sont deux parties non vides et majorées de $\Rr$ et admettent donc des bornes supérieures notées respectivement $\alpha$ et $\beta$ . Pour tout $(a,b)\in A\times B$ , on a $a+b\leq\alpha+\beta$ . Ceci montre que $A+B$ est une partie non vide et majorée de $\Rr$ , et donc que $\mbox{sup}(A+B)$ existe dans $\Rr$ . (De plus, puisque $\alpha+\beta$ est un majorant de $A+B$ , on a déjà $\mbox{sup}(A+B)\leq\alpha+\beta$ ). Soit alors $\varepsilon>0$ . Il existe $a\in A$ et $b\in B$ tels que $\alpha-\frac{\varepsilon}{2}<a\leq\alpha$ et $\beta-\frac{\varepsilon}{2}<b\leq\beta$ , et donc tels que $\alpha+\beta-\varepsilon<a+b\leq\alpha+\beta$ .

En résumé,

(1) $\forall(a,b)\in A\times B,\;a+b\leq\alpha+\beta$ et (2) $\forall\varepsilon>0,\;\exists(a,b)\in A\times B/\;a+b>\alpha+\beta-\varepsilon$ .

On en déduit que

$\mbox{sup}(A+B)=\alpha+\beta=\mbox{sup }A+\mbox{sup }B$ .

Pour les bornes inférieures, on peut refaire le travail précédent en l’adaptant ou appliquer le résultat précédent aux ensembles $-A$ et $-B$ car $\text{Inf}A=-\text{sup}(-A)$ .

exo7 5210