Soit \(E = \R[X]_n\) (polynômes de degré \(\le n\)), et \(P \in E\).
1
Montrer que l’ensemble \(F_P\) des polynômes de \(E\) multiples de \(P\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Quelle en est la dimension en fonction du degré de \(P\) ?
2
Soit \(Q \in E\) un polynôme sans racine commune avec \(P\), et tel que \(\deg P + \deg Q = n+1\). Montrer que \(E = F_P \oplus F_Q\).
3
En déduire qu’il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(U P + V Q = 1\).