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Montrer que l’ensemble $F_P$ des polynômes de $E$ multiples de $P$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Quelle en est la dimension en fonction du degré de $P$ ?

Soit $Q \in E$ un polynôme sans racine commune avec $P$, et tel que $\deg P + \deg Q = n+1$. Montrer que $E = F_P \oplus F_Q$.

En déduire qu’il existe deux polynômes $U$ et $V$ tels que $U P + V Q = 1$.