exo7 3205

Montrer que $P_n$ est divisible par $X-1$ et par $X-2$. On note $Q_1$ et $Q_2$ les quotients correspondant.

Montrer que $P_n$ est divisible par $(X-1)(X-2)$ et que le quotient est $Q_2-Q_1$.

Montrer que ce quotient est égal à : $$\Bigl((X-2)^{2n-2} - (X-2)^{2n-3} + \dots - (X-2) + 1\Bigr) + \Bigl((X-1)^{n-2} + (X-1)^{n-3} + \dots + (X-1) + 1\Bigr).$$