Soit \(P_n = (X-2)^{2n} + (X-1)^n - 1\).
1
Montrer que \(P_n\) est divisible par \(X-1\) et par \(X-2\). On note \(Q_1\) et \(Q_2\) les quotients correspondant.
2
Montrer que \(P_n\) est divisible par \((X-1)(X-2)\) et que le quotient est \(Q_2-Q_1\).
3
Montrer que ce quotient est égal à : \[\Bigl((X-2)^{2n-2} - (X-2)^{2n-3} + \dots - (X-2) + 1\Bigr) + \Bigl((X-1)^{n-2} + (X-1)^{n-3} + \dots + (X-1) + 1\Bigr).\]