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On appelle densité de probabilité une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, positive, dont l’intégrale généralisée sur $\mathbb{R}$ converge et vaut 1.

Dans le cadre du programme, l’intégrale généralisée n’est définie que pour des fonctions continues sauf éventuellement en un nombre fini de points.

On dit qu’une variable aléatoire réelle $X$ est à densité s’il existe une densité de probabilité $f$ telle que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $F_X(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$.

Une telle fonction, qui n’est pas unique, est appelée densité de $X$.

$F_X$ est dérivable en tout point de continuité $x$ de $f$ et $F_X'(x)=f(x)$

Ce résultat peut être admis.
Dans ce contexte, donner la loi d’une variable aléatoire $X$, c’est justifier que $X$ admet une densité et en donner une.

Si $f$ est une densité de probabilité, alors il existe une variable aléatoire $X$ dont $f$ est une densité.

Résultat admis.

$X$ admet une densité si, et seulement si, sa fonction de répartition $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en un nombre fini de points.

Ce résultat peut être admis. On insistera sur les représentations graphiques de la fonction de densité et de la fonction de répartition, en faisant le lien avec les histogrammes de variables aléatoires finies. Les étudiants doivent savoir déterminer la loi d’une variable aléatoire à partir de sa fonction de répartition.
Sur des exemples simples, recherche de la loi de $u(X)$, $X$ ayant une densité donnée.