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Intégrale généralisée d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert de $\mathbb{R}$.

Notations $\displaystyle\int_a^b f$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.
Intégrale convergente en $b$, en $a$.
Écriture $\displaystyle\int_a^b f=+\infty$ si $f$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et d’intégrale divergente.
Pour une fonction à valeurs dans $\mathbb{R}^+$, un calcul aboutissant à un résultat fini vaut preuve de convergence.

Propriétés des intégrales généralisées : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.

Intégration par parties sur un intervalle quelconque :
$\displaystyle\int_a^b f(t)g'(t)\,\mathrm{d}t=\big[fg\big]_a^b-\int_a^b f'(t)g(t)\,\mathrm{d}t.$

L’existence des limites du produit $fg$ aux bornes de l’intervalle assure que les intégrales de $fg'$ et de $f'g$ sont de même nature.
Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.

Changement de variable : étant données une fonction $f$ continue sur $]a,b[$ et une fonction $\varphi:\ ]\alpha,\beta[\to]a,b[$ bijective, strictement croissante et de classe $\mathscr{C}^1$, les intégrales $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ et $\displaystyle\int_\alpha^\beta f\big(\varphi(u)\big)\,\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ sont de même nature et égales en cas de convergence.

Adaptation au cas où $\varphi$ est strictement décroissante.
On applique ce résultat sans justification dans des cas de changements de variable usuels.