L1 Analyse Calcul d'intégrales Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 3 questions

Calcul d'intégrale

Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : I=∫01ln⁡(t)ln⁡(1−t)dtI = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t à l’aide d’un développement en série entière. On admet que ∑n=1+∞1n2=π26\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.

1

Démontrer que pour tout entier n≥1n \geq 1, ∫01−tnln⁡(t)ndt=1n(n+1)2\int_0^1 \frac{-t^n \ln(t)}{n} \mathrm{d}t = \frac{1}{n(n+1)^2}

2

Déterminer a,b,c∈Ra,b,c \in \R tels que 1n(n+1)2=an+bn+1+c(n+1)2\frac{1}{n(n+1)^2} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n+1} + \frac{c}{(n+1)^2}

3

À l’aide d’un développement en série entière et des résultats des questions précédentes, déterminer la valeur exacte de II.

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