L1 Analyse Calcul d'intégrales Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI 5 questions

exo7 5451

Pour $x$ réel, on pose $f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt$ .

Montrer que $f$ est impaire et de classe $C^\infty$ sur $\Rr$ .

Montrer que $f$ est solution de l’équation différentielle $y'+2xy=1$ .

Montrer que $\lim_{x\rightarrow +\infty}2xf(x)=1$ .

Soit $g(x)=\frac{e^{x^2}}{2x}f'(x)$ . Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$ et que $g$ admet sur $]0,+\infty[$ un unique zéro noté $x_0$ vérifiant de plus $0<x_0<1$ .

Dresser le tableau de variations de $f$ .