Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).
1
Montrer que \(f\) est impaire et de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr\).
2
Montrer que \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y'+2xy=1\).
3
Montrer que \(\lim_{x\rightarrow +\infty}2xf(x)=1\).
4
Soit \(g(x)=\frac{e^{x^2}}{2x}f'(x)\). Montrer que \(g\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\) et que \(g\) admet sur \(]0,+\infty[\) un unique zéro noté \(x_0\) vérifiant de plus \(0<x_0<1\).
5
Dresser le tableau de variations de \(f\).