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Toute fonction intégrable sur $[a,b]$ est continue.

Si $f$ est intégrable sur $[a,b]$, $\frac{d}{dx} \int_a^xf(t)\,dt=f(x)$ pour tout $x$ de $[a,b]$.

Soit $f$ une fonction sur $[a,b]$ vérifiant la propriété : pour tout $\epsilon>0$, il existe $g_\epsilon$ intégrable sur $[a,b]$ telle que $\forall x\in[a,b],\; \vert f(x)-g_\epsilon(x)\vert \leq\epsilon$ ; alors $f$ est intégrable.

Si $f$ est intégrable sur $[a,b]$, alors $\vert f\vert$ est intégrable sur $[a,b]$.

Si $\vert f\vert$ est intégrable sur $[a,b]$, alors $f$ est intégrable sur $[a,b]$.

Si $f$ et $g$ sont des fonctions intégrables sur $[a,b]$, alors la fonction $fg$ est intégrable sur $[a,b]$.

Si $f$ et $g$ sont des fonctions continues sur $[a,b]$, alors la fonction $fg$ est continue sur $[a,b]$, et $\int_a^bf(t)g(t)\,dt= \int_a^bf(t)\,dt\cdot\int_a^bg(t)\,dt$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $$\begin{cases} f\equiv\lambda_n& \text{ sur } \mathopen]\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}] \text{ pour tout entier } n\geq1\cr f(0)=\mu\cr \end{cases}$$ où $(\lambda_n)$ est une suite bornée de nombres réels, et $\mu$ un nombre réel. Alors $f$ est intégrable.

Soit $f$ bornée sur $[0,1]$, continue sauf au point $1/3$ ; alors $f$ est intégrable sur $[0,1]$.

Il existe $f\geq 0$ continue sur $[0,1]$, avec $f(1/2)>0$, et telle que $\int_0^1f(t)\,dt=0$.

Soit $f$ intégrable sur $[a,b]$. Si $\int_a^bf(t)\,dt>0$ alors $f\geq 0$ sur $[a,b]$.

Si $f$ est croissante sur $[a,b]$, elle est intégrable sur $[a,b]$ et de plus $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ est croissante.

Si $f\leq 0$ est continue sur $[a,b]$, alors $G(x)=\int_x^bf(t)\,dt$ est croissante sur $[a,b]$.

Si $f$ est continue sur $[0,1]$, $H(x)=\int_0^{x^2}f(t)\,dt$ est dérivable sur $[0,1]$, et $\forall x\in[0,1],\;\allowbreak H'(x)=f(x^2)$.