Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Toute fonction intégrable sur \([a,b]\) est continue.
Si \(f\) est intégrable sur \([a,b]\), \(\frac{d}{dx} \int_a^xf(t)\,dt=f(x)\) pour tout \(x\) de \([a,b]\).
Soit \(f\) une fonction sur \([a,b]\) vérifiant la propriété : pour tout \(\epsilon>0\), il existe \(g_\epsilon\) intégrable sur \([a,b]\) telle que \(\forall x\in[a,b],\; \vert f(x)-g_\epsilon(x)\vert \leq\epsilon\) ; alors \(f\) est intégrable.
Si \(f\) est intégrable sur \([a,b]\), alors \(\vert f\vert\) est intégrable sur \([a,b]\).
Si \(\vert f\vert\) est intégrable sur \([a,b]\), alors \(f\) est intégrable sur \([a,b]\).
Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions intégrables sur \([a,b]\), alors la fonction \(fg\) est intégrable sur \([a,b]\).
Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions continues sur \([a,b]\), alors la fonction \(fg\) est continue sur \([a,b]\), et \(\int_a^bf(t)g(t)\,dt= \int_a^bf(t)\,dt\cdot\int_a^bg(t)\,dt\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,1]\) par \[\begin{cases} f\equiv\lambda_n& \text{ sur } \mathopen]\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}] \text{ pour tout entier } n\geq1\cr f(0)=\mu\cr \end{cases}\] où \((\lambda_n)\) est une suite bornée de nombres réels, et \(\mu\) un nombre réel. Alors \(f\) est intégrable.
Soit \(f\) bornée sur \([0,1]\), continue sauf au point \(1/3\) ; alors \(f\) est intégrable sur \([0,1]\).
Il existe \(f\geq 0\) continue sur \([0,1]\), avec \(f(1/2)>0\), et telle que \(\int_0^1f(t)\,dt=0\).
Soit \(f\) intégrable sur \([a,b]\). Si \(\int_a^bf(t)\,dt>0\) alors \(f\geq 0\) sur \([a,b]\).
Si \(f\) est croissante sur \([a,b]\), elle est intégrable sur \([a,b]\) et de plus \(F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\) est croissante.
Si \(f\leq 0\) est continue sur \([a,b]\), alors \(G(x)=\int_x^bf(t)\,dt\) est croissante sur \([a,b]\).
Si \(f\) est continue sur \([0,1]\), \(H(x)=\int_0^{x^2}f(t)\,dt\) est dérivable sur \([0,1]\), et \(\forall x\in[0,1],\;\allowbreak H'(x)=f(x^2)\).