Soit \(f : [0,1]\to \Rr\) une fonction continue.
1
En utilisant la formule de la moyenne, montrer que \[\forall a\in[0,1[, \qquad \lim_{n\to\infty} \int_0^a f(t^n)\,d t=a f(0).\]
2
Montrer qu’il existe \(M>0\), tel que \[\forall a\in[0,1[, \qquad \left| (a-1)f(0) + \int_a^1 f(t^n)\,d t \right| \leq 2 M(1-a).\] En déduire que \[\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f(t^n)\,d t= f(0).\]