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En utilisant la formule de la moyenne, montrer que $$\forall a\in[0,1[, \qquad \lim_{n\to\infty} \int_0^a f(t^n)\,d t=a f(0).$$

Montrer qu’il existe $M>0$, tel que $$\forall a\in[0,1[, \qquad \left| (a-1)f(0) + \int_a^1 f(t^n)\,d t \right| \leq 2 M(1-a).$$ En déduire que $$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f(t^n)\,d t= f(0).$$