On dit qu’une partie \(A\) de \(\mathbb{R}\) est négligeable si, pour tout nombre réel \(\varepsilon>0\), il existe une suite \((I_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) d’intervalles \(I_{n} = ]a_{n},b_{n}[\) telle que : \[\begin{equation} A \subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}}I_{n}\quad \text{et}\quad \sum_{n\in\mathbb{N}}(b_{n}-a_{n})\leq\varepsilon. \end{equation}\]
1
Montrer qu’une réunion dénombrable d’ensembles négligeables est un ensemble négligeable.
2
Montrer qu’une fonction bornée \(f~:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) est intégrable au sens de Riemann sur \([a,b]\) si et seulement si l’ensemble des points où \(f\) n’est pas continue est négligeable.