exo7 794

Soient $f$ et $g$ de ${\Rr}^{+}$ dans ${\Rr}$ croissantes. Montrer que : $$\forall x\in {\Rr}^{+},\left( \int_{0}^{x}f\right) \left( \int_{0}^{x}g\right) \leq x\int_{0}^{x}fg.$$

Indication : on établira d’abord que, si $a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{n}$ et $b_{1}\leq b_{2}\leq ...\leq b_{n},$ alors : $$\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}\right) \left( \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}\right) \leq \frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$$ Remarquer que : $$\sum\limits_{1\leq i\leq j\leq n}(a_{i-}a_{j})(b_{i-}b_{j})\geq 0.$$