Intégrations par parties successives,

\[\begin{align*} \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}\ln t\,d t &= \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}\frac{t^k}{k!}\left(\ln t - \frac 11 - \frac 12 - \dots - \frac 1k\right)\,d t\cr &= \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}\frac{t^k}{k!}\ln(t/k)\,d t + \left(\ln k - \frac 11 - \frac 12 - \dots - \frac 1k\right).\cr\end{align*}\]

Soit \(I_k = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}\frac{t^k}{k!}\ln(t/k)\,d t\). On pose \(t=ku\) : \[\begin{align*}I_k &= \frac{k^{k+1}}{k!} \int_{u=0}^{+\infty} (ue^{-u})^k\ln u\,d u\cr &= \frac{k^{k+1}}{k!} \int_{u=0}^{+\infty} d\left(\frac{(ue^{-u})^{k-1}}{k-1}\right) \frac{u^2e^{-u}\ln u}{1-u}\cr &= -\frac{k^{k+1}}{k!(k-1)} \int_{u=0}^{+\infty} (ue^{-u})^{k-1} d\left(\frac{u^2e^{-u}\ln u}{1-u}\right).\cr\end{align*}\]

Comme \(0\le ue^{-u}\le e^{-1}\), il reste \(\sqrt k\) au dénominateur multiplié par quelque chose de borné.

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