On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(r\), lié à ce cercle, quand celui-ci roule sans glisser sur un cercle de rayon \(R\) en restant tangent extérieurement à ce dernier, et dans son plan. On pose \(n=R/r\). Montrer que dans un repère que l’on précisera, l’épicycloïde admet la représentation paramétrique : \[\left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & r\bigl((n+1)\cos t-\cos(n+1)t\bigr) \\ y & = & r\bigl((n+1)\sin t-\sin(n+1)t\bigr) \end{array}\right.\] Représenter la courbe pour \(n=1,2,3\). En supposant \(n\) entier, calculer la longueur \(L\) de la courbe et l’aire \(A\) limitée par celle-ci. Dans le cas \(n=1\) (cardioïde), calculer de plus l’aire \(S\) de la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe autour de son axe de symétrie, ainsi que le volume \(V\) limitée par cette surface.
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