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On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon $r$, lié à ce cercle, quand celui-ci roule sans glisser sur un cercle de rayon $R$ en restant tangent extérieurement à ce dernier, et dans son plan. On pose $n=R/r$. Montrer que dans un repère que l’on précisera, l’épicycloïde admet la représentation paramétrique : $$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & r\bigl((n+1)\cos t-\cos(n+1)t\bigr) \\ y & = & r\bigl((n+1)\sin t-\sin(n+1)t\bigr) \end{array}\right.$$ Représenter la courbe pour $n=1,2,3$. En supposant $n$ entier, calculer la longueur $L$ de la courbe et l’aire $A$ limitée par celle-ci. Dans le cas $n=1$ (cardioïde), calculer de plus l’aire $S$ de la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe autour de son axe de symétrie, ainsi que le volume $V$ limitée par cette surface.