Notons $I = \int_0^{\frac \pi 2}\frac 1{1+\sin x} dx$ . Le changement de variable $t = \tan \frac x2$ transforme toute fraction rationnelle de sinus et cosinus en une fraction rationnelle en $t$ (que l’on sait résoudre !).

En posant $t=\tan \frac{x}{2}$ on a $x=\arctan \frac t2$ ainsi que les formules suivantes : $\cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}, \quad \sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \tan x = \frac{2t}{1-t^2}, \quad dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}.$

Ici, on a seulement à remplacer $\sin x$ . Comme $x$ varie de $x=0$ à $x=\frac\pi 2$ alors $t=\tan \frac{x}{2}$ varie de $t=0$ à $t=1$ .

$\begin{align*} I &= \int_0^{\frac \pi 2}\frac 1{1+\sin x} dx = \int_0^1 \frac 1 {1+ \frac{2t}{1+t^2}} \dfrac{2dt}{1+t^2} \\ &= \int_0^1 \frac{2}{1+t^2 + 2t} dt = \int_0^1 \frac{2}{(1+t)^2} dt \\ &= \left[ \frac{-2}{1+t} \right]_0^1 = 1 \end{align*}$ Notons $J = \int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sin x}{1+\sin x} dx$ . Alors $I+J = \int_0^{\frac \pi 2}\frac 1{1+\sin x} dx + \int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sin x}{1+\sin x} dx = \int_0^{\frac \pi 2} \frac{1+\sin x}{1+\sin x} dx = \int_0^{\frac \pi 2} 1 \, dx = \big[ x \big]_0^{\frac \pi 2} = \frac \pi 2.$ Donc $J = \frac \pi 2 - I= \frac \pi 2 - 1$ .

exo7 2095