Notons \(I = \int_0^{\frac \pi 2}\frac 1{1+\sin x} dx\). Le changement de variable \(t = \tan \frac x2\) transforme toute fraction rationnelle de sinus et cosinus en une fraction rationnelle en \(t\) (que l’on sait résoudre !).

En posant \(t=\tan \frac{x}{2}\) on a \(x=\arctan \frac t2\) ainsi que les formules suivantes : \[\cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}, \quad \sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \tan x = \frac{2t}{1-t^2}, \quad dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}.\]

Ici, on a seulement à remplacer \(\sin x\). Comme \(x\) varie de \(x=0\) à \(x=\frac\pi 2\) alors \(t=\tan \frac{x}{2}\) varie de \(t=0\) à \(t=1\).

\[\begin{align*} I &= \int_0^{\frac \pi 2}\frac 1{1+\sin x} dx = \int_0^1 \frac 1 {1+ \frac{2t}{1+t^2}} \dfrac{2dt}{1+t^2} \\ &= \int_0^1 \frac{2}{1+t^2 + 2t} dt = \int_0^1 \frac{2}{(1+t)^2} dt \\ &= \left[ \frac{-2}{1+t} \right]_0^1 = 1 \end{align*}\] Notons \(J = \int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sin x}{1+\sin x} dx\). Alors \[I+J = \int_0^{\frac \pi 2}\frac 1{1+\sin x} dx + \int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sin x}{1+\sin x} dx = \int_0^{\frac \pi 2} \frac{1+\sin x}{1+\sin x} dx = \int_0^{\frac \pi 2} 1 \, dx = \big[ x \big]_0^{\frac \pi 2} = \frac \pi 2.\] Donc \(J = \frac \pi 2 - I= \frac \pi 2 - 1\).

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