$f$ est continue sur $\Rr$ et donc $F$ est définie et de classe $C^1$ sur $\Rr$ . De plus, $F'=f$ est positive sur $[0,+\infty[$ , de sorte que $F$ est croissante sur $[0,+\infty[$ . On en déduit que $F$ admet en $+\infty$ une limite dans $]-\infty,+\infty]$ .

Vérifions alors que $F$ est majorée sur $\Rr$ . On contate que $t^2.\frac{t^2}{e^t-1}$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers $+\infty$ , d’après un théorème de croissances comparées. Par suite, il existe un réel $A$ tel que pour $t\geq A$ , $0\leq t^2.\frac{t^2}{e^t-1}\leq1$ ou encore $0\leq f(t)\leq\frac{1}{t^2}$ . Pour $x\geq A$ , on a alors

$\begin{align*}\ensuremath F(x)&=\int_{0}^{A}f(t)\;dt+\int_{A}^{x}\frac{t^2}{e^t-1}\;dt\leq\int_{0}^{A}f(t)\;dt+\int_{A}^{x}\frac{1}{t^2}\;dt\\ &=\int_{0}^{A}f(t)\;dt+\frac{1}{A}-\frac{1}{x}\leq\int_{0}^{A}f(t)\;dt+\frac{1}{A}. \end{align*}$

$F$ est croissante et majorée et donc a une limite réelle $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

Soit $n\in\Nn^*$ . Pour $t\in]0,+\infty[$ ,

$\begin{align*} f(t)&=t^2e^{-t}\frac{1}{1-e^{-t}}=t^2e^{-t}(\sum_{k=0}^{n-1}(e^{-t})^k+\frac{(e^{-t})^{n}}{1-e^{-t}})\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}t^2e^{-(k+1)t}+\frac{t^2e^{-t}}{1-e^{-t}}e^{-nt}=\sum_{k=1}^{n}t^2e^{-kt}+f_n(t)\;(*), \end{align*}$

où $f_n(t)=\frac{t^2e^{-t}}{1-e^{-t}}e^{-nt}$ pour $t>0$ . En posant de plus $f_n(0)=0$ , d’une part, $f_n$ est continue sur $[0,+\infty[$ et d’autre part, l’égalité $(*)$ reste vraie quand $t=0$ . En intégrant, on obtient

$\forall x\in[0,+\infty[,\;\forall n\in\Nn^*,\;F(x)=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{x}t^2e^{-kt}\;dt+\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\;(**).$

Soient alors $k\in\Nn^*$ et $x\in[0,+\infty[$ . Deux intégrations par parties fournissent :

$\begin{align*}\ensuremath \int_{0}^{x}t^2e^{-kt}\;dt&=\left[-\frac{1}{k}t^2e^{-kt}\right]_{0}^{x}+\frac{2}{k}\int_{0}^{x}te^{-kt}\;dt =-\frac{1}{k}x^2e^{-kx}+\frac{2}{k}(\left[-\frac{1}{k}te^{-kt}\right]_{0}^{x}+\frac{1}{k}\int_{0}^{x}e^{-kt}\;dt)\\ &=-\frac{1}{k}x^2e^{-kx}-\frac{2}{k^2}xe^{-kx}-\frac{2}{k^3}e^{-kx}+\frac{2}{k^3}. \end{align*}$

Puisque $k>0$ , quand $x$ tend vers $+\infty$ , on obtient $\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}t^2e^{-kt}\;dt=\frac{2}{k^3}$ . On fait alors tendre $x$ vers $+\infty$ dans $(**)$ et on obtient

$\forall n\in\Nn^*,\;\ell-2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^3}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\;(***).$

Vérifions enfin que $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\right)=0$ . La fonction $t\mapsto\frac{t^2e^{-t}}{1-e^{-t}}$ est continue sur $]0,+\infty[$ , se prolonge par continuité en $0$ et a une limite réelle en $+\infty$ . On en déduit que cette fonction est bornée sur $]0,+\infty[$ . Soit $M$ un majorant de cette fonction sur $]0,+\infty[$ . Pour $x\in[0,+\infty[$ et $n\in\Nn^*$ , on a alors

$0\leq\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\leq M\int_{0}^{x}e^{-nt}\;dt=\frac{M}{n}(1-e^{-nx}).$

A $n\in\Nn^*$ fixé, on passe à la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ et on obtient

$0\leq\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\leq\frac{M}{n},$

puis on passe à la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ et on obtient

$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\right)=0.$

Par passage à la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ puis quand $n$ tend vers $+\infty$ dans $(***)$ , on obtient enfin

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}\frac{t^2}{e^t-1}\;dt=2\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^3}.$

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