\(f\) est continue sur \(\Rr\) et donc \(F\) est définie et de classe \(C^1\) sur \(\Rr\). De plus, \(F'=f\) est positive sur \([0,+\infty[\), de sorte que \(F\) est croissante sur \([0,+\infty[\). On en déduit que \(F\) admet en \(+\infty\) une limite dans \(]-\infty,+\infty]\).

Vérifions alors que \(F\) est majorée sur \(\Rr\). On contate que \(t^2.\frac{t^2}{e^t-1}\) tend vers \(0\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\), d’après un théorème de croissances comparées. Par suite, il existe un réel \(A\) tel que pour \(t\geq A\), \(0\leq t^2.\frac{t^2}{e^t-1}\leq1\) ou encore \(0\leq f(t)\leq\frac{1}{t^2}\). Pour \(x\geq A\), on a alors

\[\begin{align*}\ensuremath F(x)&=\int_{0}^{A}f(t)\;dt+\int_{A}^{x}\frac{t^2}{e^t-1}\;dt\leq\int_{0}^{A}f(t)\;dt+\int_{A}^{x}\frac{1}{t^2}\;dt\\ &=\int_{0}^{A}f(t)\;dt+\frac{1}{A}-\frac{1}{x}\leq\int_{0}^{A}f(t)\;dt+\frac{1}{A}. \end{align*}\]

\(F\) est croissante et majorée et donc a une limite réelle \(\ell\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Soit \(n\in\Nn^*\). Pour \(t\in]0,+\infty[\),

\[\begin{align*} f(t)&=t^2e^{-t}\frac{1}{1-e^{-t}}=t^2e^{-t}(\sum_{k=0}^{n-1}(e^{-t})^k+\frac{(e^{-t})^{n}}{1-e^{-t}})\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}t^2e^{-(k+1)t}+\frac{t^2e^{-t}}{1-e^{-t}}e^{-nt}=\sum_{k=1}^{n}t^2e^{-kt}+f_n(t)\;(*), \end{align*}\]

où \(f_n(t)=\frac{t^2e^{-t}}{1-e^{-t}}e^{-nt}\) pour \(t>0\). En posant de plus \(f_n(0)=0\), d’une part, \(f_n\) est continue sur \([0,+\infty[\) et d’autre part, l’égalité \((*)\) reste vraie quand \(t=0\). En intégrant, on obtient

\[\forall x\in[0,+\infty[,\;\forall n\in\Nn^*,\;F(x)=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{x}t^2e^{-kt}\;dt+\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\;(**).\]

Soient alors \(k\in\Nn^*\) et \(x\in[0,+\infty[\). Deux intégrations par parties fournissent :

\[\begin{align*}\ensuremath \int_{0}^{x}t^2e^{-kt}\;dt&=\left[-\frac{1}{k}t^2e^{-kt}\right]_{0}^{x}+\frac{2}{k}\int_{0}^{x}te^{-kt}\;dt =-\frac{1}{k}x^2e^{-kx}+\frac{2}{k}(\left[-\frac{1}{k}te^{-kt}\right]_{0}^{x}+\frac{1}{k}\int_{0}^{x}e^{-kt}\;dt)\\ &=-\frac{1}{k}x^2e^{-kx}-\frac{2}{k^2}xe^{-kx}-\frac{2}{k^3}e^{-kx}+\frac{2}{k^3}. \end{align*}\]

Puisque \(k>0\), quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on obtient \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}t^2e^{-kt}\;dt=\frac{2}{k^3}\). On fait alors tendre \(x\) vers \(+\infty\) dans \((**)\) et on obtient

\[\forall n\in\Nn^*,\;\ell-2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^3}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\;(***).\]

Vérifions enfin que \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\right)=0\). La fonction \(t\mapsto\frac{t^2e^{-t}}{1-e^{-t}}\) est continue sur \(]0,+\infty[\), se prolonge par continuité en \(0\) et a une limite réelle en \(+\infty\). On en déduit que cette fonction est bornée sur \(]0,+\infty[\). Soit \(M\) un majorant de cette fonction sur \(]0,+\infty[\). Pour \(x\in[0,+\infty[\) et \(n\in\Nn^*\), on a alors

\[0\leq\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\leq M\int_{0}^{x}e^{-nt}\;dt=\frac{M}{n}(1-e^{-nx}).\]

A \(n\in\Nn^*\) fixé, on passe à la limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et on obtient

\[0\leq\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\leq\frac{M}{n},\]

puis on passe à la limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et on obtient

\[\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}f_n(t)\;dt\right)=0.\]

Par passage à la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) puis quand \(n\) tend vers \(+\infty\) dans \((***)\), on obtient enfin

\[\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}\frac{t^2}{e^t-1}\;dt=2\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^3}.\]

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