Soit \(f\) deux fois dérivable sur \([a,b]\), vérifiant \(\vert f''\vert\leq M\) sur \([a,b]\). Soit \[\varphi(t)=f(t)-f(a)-(t-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}-A(b-t)(t-a)\] Soit \(x\in\mathopen]a,b\mathclose[\) ; on choisit \(A=A(x)\) pour que \(\varphi(x)=\nolinebreak 0\) (dessiner !). Montrer qu’il existe \(c_1,c_2\in[a,b]\) tels que \(c_1<c_2\) et \(\varphi'(c_1)=\varphi'(c_2)=0\), puis qu’il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(\varphi''(c)=0\). En déduire une majoration de \(\vert A\vert\) pour \(x\in[a,b]\). On convient de poser \(A(a)=A(b)=0\).
On note \(E\) l’erreur commise en remplaçant \(\int_a^bf(x)\,dx\) par l’aire du trapèze défini par l’axe des \(x\), les droites \(x=a\) et \(x=b\) et la corde du graphe joignant les points \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\) (dessiner !). Montrer que \(E=\int_a^bA(x)(b-x)(x-a)\,dx\), et vérifier que l’intégrale a un sens. En déduire que \(\vert E\vert\leq\frac{M(b-a)^3}{12}\) (utiliser 1)).
Pour \(n\geq1\) on pose \(I_n=\frac{b-a}{n}\Bigl[\frac{f(a)}{2}+f(x_1)+ f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac{f(b)}{2}\Bigr]\) où \(x_p=a+p\frac{b-a}{n}\) pour \(p=1,2,\ldots,n-1\). Montrer que \(I_n\) est la somme des aires des trapèzes construits sur les points d’abscisses \(a,x_1,x_2,\ldots,x_{n-1},b\) et les cordes correspondantes du graphe de \(f\) (dessiner !). Montrer que \[\biggl\vert\int_a^b f(x)\,dx-In\biggr\vert\leq\frac{M(b-a)^3}{12n^2}\]
On prend \([a,b]=[0,1]\) et \(f(x)=e^{-x^2}\). Calculer \(M=\sup_{[0,1]}\vert f''\vert\). Déterminer \(n\) pour que la méthode des trapèzes avec \(n\) intervalles donne un nombre qui approche \(\int_0^1e^{-x^2}\,dx\) à moins de \(10^{-2}\) près. En déduire un encadrement de cette intégrale.