1
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr^+\) à valeurs dans \(\Rr\) telle que l’intégrale \(\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx\) converge en \(+\infty\). Montrer que \(\int_{0}^{+\infty}f'(x)\;dx\) converge en \(+\infty\) si et seulement si \(f(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
2
On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^2\) sur \(\Rr^+\) à valeurs dans \(\Rr\) telle que \(f\) et \(f''\) admettent des limites réelles quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Montrer que \(f'\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
3
En déduire que si les intégrales \(\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx\) et \(\int_{0}^{+\infty}f''(x)\;dx\) convergent alors \(f\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).