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Soit $f$ de classe $C^1$ sur $\Rr^+$ à valeurs dans $\Rr$ telle que l’intégrale $\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx$ converge en $+\infty$. Montrer que $\int_{0}^{+\infty}f'(x)\;dx$ converge en $+\infty$ si et seulement si $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

On suppose que $f$ est une fonction de classe $C^2$ sur $\Rr^+$ à valeurs dans $\Rr$ telle que $f$ et $f''$ admettent des limites réelles quand $x$ tend vers $+\infty$. Montrer que $f'$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

En déduire que si les intégrales $\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx$ et $\int_{0}^{+\infty}f''(x)\;dx$ convergent alors $f$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.