Notons $f(t) = \frac 1{\ln t}$ et $g(t) = \frac 1{t\ln t}$ . On se place sur $]1,+\infty[$ . Bien évidemment $g(t) \leqslant f(t)$ , mais nous avons aussi que pour $\epsilon >0$ fixé il existe $x>1$ tel que pour tout $t\in [1,x^2]$ on ait $\frac 1t \leqslant 1+\epsilon$ donc sur $]1,x^2]$ nous avons $f(t) \leqslant (1+\epsilon)g(t)$ . Par intégration de l’inégalité $g(t) \leqslant f(t) \leqslant (1+\epsilon)g(t)$ sur $[x,x^2]$ nous obtenons pour $x$ assez proche de $1$ : $H(x) \leqslant F(x) \leqslant (1+\epsilon)H(x).$

Il ne reste plus qu’a calculer $H(x)$ . En fait $g(t) = \frac 1{t\ln t}$ est la dérivée de la fonction $h(t) = \ln (\ln t)$ . Donc $\begin{align*} H(x) = \int_x^{x^2}\frac{dt}{t\ln t} &= [ \ln (\ln t) ]_x^{x^2} = \ln (\ln (x^2))-\ln (\ln x) \\ &= \ln (2 \ln x)-\ln (\ln x) = \ln \frac {2 \ln x}{\ln x} \\ &= \ln 2. \\ \end{align*}$

Nous obtenons alors, pour $\epsilon >0$ fixé et $x>1$ assez proche de $1$ , l’encadrement $\ln 2 \leqslant F(x) \leqslant (1+\epsilon) \ln 2.$

Donc la limite de $F(x)$ quand $x\to 1^+$ est $\ln 2$ .

exo7 2093