Notons \(f(t) = \frac 1{\ln t}\) et \(g(t) = \frac 1{t\ln t}\). On se place sur \(]1,+\infty[\). Bien évidemment \(g(t) \leqslant f(t)\), mais nous avons aussi que pour \(\epsilon >0\) fixé il existe \(x>1\) tel que pour tout \(t\in [1,x^2]\) on ait \(\frac 1t \leqslant 1+\epsilon\) donc sur \(]1,x^2]\) nous avons \(f(t) \leqslant (1+\epsilon)g(t)\). Par intégration de l’inégalité \(g(t) \leqslant f(t) \leqslant (1+\epsilon)g(t)\) sur \([x,x^2]\) nous obtenons pour \(x\) assez proche de \(1\) : \[H(x) \leqslant F(x) \leqslant (1+\epsilon)H(x).\]

Il ne reste plus qu’a calculer \(H(x)\). En fait \(g(t) = \frac 1{t\ln t}\) est la dérivée de la fonction \(h(t) = \ln (\ln t)\). Donc \[\begin{align*} H(x) = \int_x^{x^2}\frac{dt}{t\ln t} &= [ \ln (\ln t) ]_x^{x^2} = \ln (\ln (x^2))-\ln (\ln x) \\ &= \ln (2 \ln x)-\ln (\ln x) = \ln \frac {2 \ln x}{\ln x} \\ &= \ln 2. \\ \end{align*}\]

Nous obtenons alors, pour \(\epsilon >0\) fixé et \(x>1\) assez proche de \(1\), l’encadrement \[\ln 2 \leqslant F(x) \leqslant (1+\epsilon) \ln 2.\]

Donc la limite de \(F(x)\) quand \(x\to 1^+\) est \(\ln 2\).

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