Puisque \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0,a]\), \(f\) réalise une bijection de \([0,a]\) sur \(f([0,a])=[0,f(a)]\).

Soit \(x\in[0,a]\). Pour \(y\in[0,f(a)]\), posons \(g(y)=\int_{0}^{x}f(t)\;dt+\int_{0}^{y}f^{-1}(t)\;dt-xy\). Puisque \(f\) est continue sur \([0,a]\), on sait que \(f^{-1}\) est continue sur \([0,f(a)]\) et donc la fonction \(y\mapsto\int_{0}^{y}f^{-1}(t)\;dt\) est définie et de classe \(C^1\) sur \([0,f(a)]\). Donc \(g\) est de classe \(C^1\) sur \([0,f(a)]\) et pour \(y\in[0,f(a)]\), \(g'(y)=f^{-1}(y)-x\).

Or, \(f\) étant strictement croissante sur \([0,a]\), \(g'(y)>0\Leftrightarrow f^{-1}(y)>x\Leftrightarrow y>f(x)\). Par suite, \(g'\) est strictement négative sur \([0,f(x)[\) et strictement positive sur \(]f(x),f(a)]\), et \(g\) est strictement décroissante sur \([0,f(x)]\) et strictement croissante sur \([f(x),f(a)]\). \(g\) admet en \(y=f(x)\) un minimum global égal à \(g(f(x))=\int_{0}^{x}f(t)\;dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)\;dt-xf(x)\). Notons \(h(x)\) cette expression.

\(f\) est continue sur \([0,a]\). Donc, \(x\mapsto\int_{0}^{x}f(t)\;dt\) est de classe \(C^1\) sur \([0,a]\). Ensuite \(f\) est de classe \(C^1\) sur \([0,a]\) à valeurs dans \([0,f(a)]\) et \(y\mapsto\int_{0}^{y}f^{-1}(t)\;dt\) est de classe \(C^1\) sur \([0,f(a)]\) (puisque \(f^{-1}\) est continue sur \([0,f(a)]\)). On en déduit que \(x\mapsto\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)\;dt\) est de classe \(C^1\) sur \([0,a]\). Il en est de même de \(h\) et pour \(x\in[0,a]\),

\[h'(x)=f(x)+f'(x)f^{-1}(f(x))-f(x)-xf'(x)=0.\]

\(h\) est donc constante sur \([0,a]\) et pour \(x\in[0,a]\), \(h(x)=h(0)=0\).

On a montré que

\[\forall(x,y)\in[0,a]\times[0,f(a)],\;\int_{0}^{x}f(t)\;dt+\int_{0}^{y}f^{-1}(t)\;dt-xy\geq \int_{0}^{x}f(t)\;dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)\;dt-xf(x)=0.\]

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