Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,a]$ , $f$ réalise une bijection de $[0,a]$ sur $f([0,a])=[0,f(a)]$ .

Soit $x\in[0,a]$ . Pour $y\in[0,f(a)]$ , posons $g(y)=\int_{0}^{x}f(t)\;dt+\int_{0}^{y}f^{-1}(t)\;dt-xy$ . Puisque $f$ est continue sur $[0,a]$ , on sait que $f^{-1}$ est continue sur $[0,f(a)]$ et donc la fonction $y\mapsto\int_{0}^{y}f^{-1}(t)\;dt$ est définie et de classe $C^1$ sur $[0,f(a)]$ . Donc $g$ est de classe $C^1$ sur $[0,f(a)]$ et pour $y\in[0,f(a)]$ , $g'(y)=f^{-1}(y)-x$ .

Or, $f$ étant strictement croissante sur $[0,a]$ , $g'(y)>0\Leftrightarrow f^{-1}(y)>x\Leftrightarrow y>f(x)$ . Par suite, $g'$ est strictement négative sur $[0,f(x)[$ et strictement positive sur $]f(x),f(a)]$ , et $g$ est strictement décroissante sur $[0,f(x)]$ et strictement croissante sur $[f(x),f(a)]$ . $g$ admet en $y=f(x)$ un minimum global égal à $g(f(x))=\int_{0}^{x}f(t)\;dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)\;dt-xf(x)$ . Notons $h(x)$ cette expression.

$f$ est continue sur $[0,a]$ . Donc, $x\mapsto\int_{0}^{x}f(t)\;dt$ est de classe $C^1$ sur $[0,a]$ . Ensuite $f$ est de classe $C^1$ sur $[0,a]$ à valeurs dans $[0,f(a)]$ et $y\mapsto\int_{0}^{y}f^{-1}(t)\;dt$ est de classe $C^1$ sur $[0,f(a)]$ (puisque $f^{-1}$ est continue sur $[0,f(a)]$ ). On en déduit que $x\mapsto\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)\;dt$ est de classe $C^1$ sur $[0,a]$ . Il en est de même de $h$ et pour $x\in[0,a]$ ,

$h'(x)=f(x)+f'(x)f^{-1}(f(x))-f(x)-xf'(x)=0.$

$h$ est donc constante sur $[0,a]$ et pour $x\in[0,a]$ , $h(x)=h(0)=0$ .

On a montré que

$\forall(x,y)\in[0,a]\times[0,f(a)],\;\int_{0}^{x}f(t)\;dt+\int_{0}^{y}f^{-1}(t)\;dt-xy\geq \int_{0}^{x}f(t)\;dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)\;dt-xf(x)=0.$

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