L1 Analyse Calcul d'intégrales Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPI 3 questions

exo7 4252

Soient f,g:[a,b]→R{f,g} : {[a,b]} \to \R continues, ff positive décroissante.

On note G(x)=∫t=axg(t) dtG(x) = \int_{t=a}^x g(t)\,d t, et M=sup⁡{G(x), x∈[a,b]}m=inf⁡{G(x), x∈[a,b]}.M = \sup\{ G(x),\ x \in {[a,b]} \}\qquad m = \inf\{ G(x),\ x \in {[a,b]} \}.

1

On suppose ici que ff est de classe C1\mathcal{C}^1. Démontrer que mf(a)≤∫t=abf(t)g(t) dt≤Mf(a)mf(a) \le \int_{t=a}^b f(t)g(t)\,d t \le Mf(a).

2

Démontrer la même inégalité si ff est seulement continue, en admettant qu’elle est limite uniforme de fonctions de classe C1\mathcal{C}^1 décroissantes.

3

Démontrer enfin qu’il existe c∈[a,b]c \in {[a,b]} tel que ∫t=abf(t)g(t) dt=f(a)∫t=acg(t) dt\int_{t=a}^b f(t)g(t)\,d t = f(a) \int_{t=a}^c g(t)\,d t.

Exercice laTH

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