Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
On note \(G(x) = \int_{t=a}^x g(t)\,d t\), et \[M = \sup\{ G(x),\ x \in {[a,b]} \}\qquad m = \inf\{ G(x),\ x \in {[a,b]} \}.\]
1
On suppose ici que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\). Démontrer que \(mf(a) \le \int_{t=a}^b f(t)g(t)\,d t \le Mf(a)\).
2
Démontrer la même inégalité si \(f\) est seulement continue, en admettant qu’elle est limite uniforme de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) décroissantes.
3
Démontrer enfin qu’il existe \(c \in {[a,b]}\) tel que \(\int_{t=a}^b f(t)g(t)\,d t = f(a) \int_{t=a}^c g(t)\,d t\).