Supposons \(f\) de classe \(C^2\) sur \([0,1]\). Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \([0,1]\). Soit \(n\) un entier naturel non nul.

\[u_n=\int_{0}^{1}f(t)\;dt-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n})=\sum_{k=0}^{n-1}(\int_{k/n}^{(k+1)/n}f(t)\;dt-\frac{1}{n}f(\frac{k}{n}))=\sum_{k=0}^{n-1}(F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})).\]

\(f\) est de classe \(C^2\) sur le segment \([0,1]\). Par suite, \(F^{(3)}=f''\) est définie et bornée sur ce segment. En notant \(M_2\) la borne supérieure de \(|f''|\) sur \([0,1]\), l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 3 appliquée à \(F\) sur le segment \([0,1]\) fournit

\[\left|F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})\right| \leq\frac{(1/n)^3M_2}{6},\]

et donc,

\[\begin{align*}\ensuremath \left|\sum_{k=0}^{n-1}[F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})] \right|&\leq\sum_{k=0}^{n-1}|F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})|\\ &\leq\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(1/n)^3M_2}{6}=\frac{M_2}{6n^2}. \end{align*}\]

Ainsi, \(\sum_{k=0}^{n-1}[F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})]=O(\frac{1}{n^2})\), ou encore \(\sum_{k=0}^{n-1}[F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})]=o(\frac{1}{n})\), ou enfin,

\[u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})+o(\frac{1}{n}).\]

Maintenant,

\[\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})=\frac{1}{2n}.\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f'(\frac{k}{n}).\]

Or, la fonction \(f'\) est continue sur le segment \([0,1]\). Par suite, la somme de Riemann \(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f'(\frac{k}{n})\) tend vers \(\int_{0}^{1}f'(t)\;dt=f(1)-f(0)\) et donc

\[\frac{1}{2n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f'(\frac{k}{n})=\frac{1}{2n}(f(1)-f(0)+o(1))=\frac{f(1)-f(0)}{2n}+o(\frac{1}{n}).\]

Finalement,

\[\int_{0}^{1}f(t)\;dt-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n})=\frac{f(1)-f(0)}{2n}+o(\frac{1}{n}).\]

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