Supposons $f$ de classe $C^2$ sur $[0,1]$ . Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[0,1]$ . Soit $n$ un entier naturel non nul.

$\begin{align*} u_n &= \int_{0}^{1}f(t)\;dt-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n}) \\ &= \sum_{k=0}^{n-1}(\int_{k/n}^{(k+1)/n}f(t)\;dt-\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})) \\ &= \sum_{k=0}^{n-1}(F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})). \end{align*}$

$f$ est de classe $C^2$ sur le segment $[0,1]$ . Par suite, $F^{(3)}=f''$ est définie et bornée sur ce segment. En notant $M_2$ la borne supérieure de $|f''|$ sur $[0,1]$ , l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 3 appliquée à $F$ sur le segment $[0,1]$ fournit

$\left|F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})\right| \leq\frac{(1/n)^3M_2}{6},$

et donc,

$\begin{align*}\ensuremath \left|\sum_{k=0}^{n-1}[F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})] \right|&\leq\sum_{k=0}^{n-1}|F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})|\\ &\leq\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(1/n)^3M_2}{6}=\frac{M_2}{6n^2}. \end{align*}$

Ainsi, $\sum_{k=0}^{n-1}[F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})]=O(\frac{1}{n^2})$ , ou encore $\sum_{k=0}^{n-1}[F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})-\frac{1}{n}F'(\frac{k}{n})-\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})]=o(\frac{1}{n})$ , ou enfin,

$u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})+o(\frac{1}{n}).$

Maintenant,

$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2n^2}F''(\frac{k}{n})=\frac{1}{2n}.\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f'(\frac{k}{n}).$

Or, la fonction $f'$ est continue sur le segment $[0,1]$ . Par suite, la somme de Riemann $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f'(\frac{k}{n})$ tend vers $\int_{0}^{1}f'(t)\;dt=f(1)-f(0)$ et donc

$\frac{1}{2n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f'(\frac{k}{n})=\frac{1}{2n}(f(1)-f(0)+o(1))=\frac{f(1)-f(0)}{2n}+o(\frac{1}{n}).$

Finalement,

$\int_{0}^{1}f(t)\;dt-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n})=\frac{f(1)-f(0)}{2n}+o(\frac{1}{n}).$

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