La fonction \(t\mapsto e^{-t^2}\) est continue, positive et intégrable sur \([0,+\infty[\). De plus, quand \(t\) tend \(+\infty\),

\(e^{-t^2}\sim\left(1+\frac{1}{t^2}\right)=\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2t}e^{-t^2}\right)\).

D’après un théorème de sommation des relations de comparaison, quand \(x\) tend vers \(+\infty\),

\(\int_{x}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt\sim\int_{x}^{+\infty}\left(-\frac{1}{2t}e^{-t^2}\right)'\;dt =\frac{1}{2x}e^{-x^2}\),

et donc

Pour \(a> 0\) fixé, \(\int_{a}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx\) converge (se montre en intégrant par parties (voir exercice [ex:rou3])) puis

\[\begin{align*}\ensuremath \int_{a}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx&=-\int_{1}^{a}\frac{\cos x}{x}\;dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx\underset{a\rightarrow0}{=}-\int_{1}^{a}\frac{\cos x}{x}\;dx + O(1)\\ &\underset{a\rightarrow0}{=}-\int_{1}^{a}\frac{1}{x}\;dx+\int_{1}^{a}\frac{1-\cos x}{x}\;dx+O(1)\underset{a\rightarrow0}{=}-\ln a+\int_{1}^{a}\frac{1-\cos x}{x}\;dx+O(1) . \end{align*}\]

Maintenant, \(\frac{1-\cos x}{x}\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{x}{2}\) et en particulier, \(\frac{1-\cos x}{x}\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\). Par suite, la fonction \(x\mapsto\frac{1-\cos x}{x}\) est continue sur \(]0,1]\) et se prolonge par continuité en \(0\). Cette fonction est donc intégrable sur \(]0,1]\) et en particulier, \(\int_{1}^{a}\frac{1-\cos x}{x}\;dx\) a une limite réelle quand \(a\) tend vers \(0\). On en déduit que \(\int_{a}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx\underset{a\rightarrow0}{=}-\ln a + O(1)\) et finalement

Soit \(a>0\).

\(\left|\int_{0}^{1}\frac{1}{x^3+a^2}\;dx -\frac{1}{a^2}\right| =\left|\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x^3+a^2}-\frac{1}{a^2}\right)\;dx\right| =\int_{0}^{1}\frac{x^3}{(x^3+a^2)a^2}\;dx\leqslant\frac{1}{a^4}\)

Donc, \(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^3+a^2}\;dx\underset{a\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{a^2}+o\left(\frac{1}{a^2}\right)\) ou encore

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