La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue, positive et intégrable sur $[0,+\infty[$ . De plus, quand $t$ tend $+\infty$ ,

$e^{-t^2}\sim\left(1+\frac{1}{t^2}\right)=\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2t}e^{-t^2}\right)$ .

D’après un théorème de sommation des relations de comparaison, quand $x$ tend vers $+\infty$ ,

$\int_{x}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt\sim\int_{x}^{+\infty}\left(-\frac{1}{2t}e^{-t^2}\right)'\;dt =\frac{1}{2x}e^{-x^2}$ ,

et donc

$e^{x^2}\int_{x}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt\underset{x\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{2x}$ .

Pour $a> 0$ fixé, $\int_{a}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx$ converge (se montre en intégrant par parties (voir exercice [ex:rou3])) puis

$\begin{align*}\ensuremath \int_{a}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx&=-\int_{1}^{a}\frac{\cos x}{x}\;dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx\underset{a\rightarrow0}{=}-\int_{1}^{a}\frac{\cos x}{x}\;dx + O(1)\\ &\underset{a\rightarrow0}{=}-\int_{1}^{a}\frac{1}{x}\;dx+\int_{1}^{a}\frac{1-\cos x}{x}\;dx+O(1)\underset{a\rightarrow0}{=}-\ln a+\int_{1}^{a}\frac{1-\cos x}{x}\;dx+O(1) . \end{align*}$

Maintenant, $\frac{1-\cos x}{x}\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{x}{2}$ et en particulier, $\frac{1-\cos x}{x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ . Par suite, la fonction $x\mapsto\frac{1-\cos x}{x}$ est continue sur $]0,1]$ et se prolonge par continuité en $0$ . Cette fonction est donc intégrable sur $]0,1]$ et en particulier, $\int_{1}^{a}\frac{1-\cos x}{x}\;dx$ a une limite réelle quand $a$ tend vers $0$ . On en déduit que $\int_{a}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx\underset{a\rightarrow0}{=}-\ln a + O(1)$ et finalement

$\int_{a}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx\underset{a\rightarrow0}{\sim}-\ln a$ .

Soit $a>0$ .

$\left|\int_{0}^{1}\frac{1}{x^3+a^2}\;dx -\frac{1}{a^2}\right| =\left|\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x^3+a^2}-\frac{1}{a^2}\right)\;dx\right| =\int_{0}^{1}\frac{x^3}{(x^3+a^2)a^2}\;dx\leqslant\frac{1}{a^4}$

Donc, $\int_{0}^{1}\frac{1}{x^3+a^2}\;dx\underset{a\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{a^2}+o\left(\frac{1}{a^2}\right)$ ou encore

$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^3+a^2}\;dx\underset{a\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{a^2}$ .

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