Pour \(n\) entier naturel, on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\sin^nx\;dx\).
1
Calculer \(W_0\) et \(W_1\). Déterminer une relation entre \(W_n\) et \(W_{n+2}\) et en déduire \(W_{2n}\) et \(W_{2n+1}\) en fonction de \(n\).
2
Etudier les variations de la suite \((W_n)\) et en déduire \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{W_{n+1}}{W_n}\).
3
Montrer que la suite \((nW_nW_{n-1})_{n\in\Nn^*}\) est constante. En déduire \(\lim_{n\rightarrow +\infty}W_n\), puis un équivalent simple de \(W_n\). En écrivant \(\int_{0}^{\pi/2}=\int_{0}^{\alpha}+\int_{\alpha}^{\pi}{2}\), retrouver directement \(\lim_{n\rightarrow +\infty}W_n\).
4
Montrer que \(\lim_{n\rightarrow +\infty}n\left(\frac{1.3....(2n-1)}{2.4....(2n)}\right)^2=\frac{1}{\pi}\). (Formule de Wallis)