1
Soit \((f_i)\) une famille de fonctions convexes sur un intervalle \(I\).
On suppose que : \(\forall\ x \in I,\ f(x) = \sup(f_i(x))\) existe. Montrer que \(f\) est convexe.
2
Soit \(f : I \to {\R}\) minorée. Montrer qu’il existe une plus grande fonction convexe minorant \(f\). On la note \(\tilde f\).
3
Soit \(f : {[0,1]} \to {\R^+}\) croissante. Montrer que \(\int_{t=0}^1 \tilde f(t)d t \ge \frac 12 \int_{t=0}^1 f(t)d t\) (commencer par le cas où \(f\) est en escalier).