L1 Analyse Calcul d'intégrales Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 3 questions

exo7 1293

Soit f∈C([1,∞[,R+)f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+}) décroissante, on pose : xn=∑k=1nf(k)−∫1nf(t)dt.x_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(k)-\int_{1}^{n}f(t)dt.

1

Montrer que la suite (xn)n∈N\left( x_{n}\right) _{n\in \Nn} converge.

2

Montrer que la suite Sn=∑k=1nf(k)S_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(k) a une limite quand n→∞n\rightarrow \infty si et seulement si ∫1∞f\int_{1}^{\infty }f converge, et que dans ce cas : ∫n+1∞f≤lim⁡m→∞∑k=n+1mf(k)≤∫n∞f.\int_{n+1}^{\infty }f\leq \lim_{m\rightarrow \infty }\sum_{k=n+1}^{m}f(k)\leq \int_{n}^{\infty }f.

3

Montrer que si ∫1∞f\int_{1}^{\infty }f diverge on a: Sn∽∫1nfS_{n}\backsim \int_{1}^{n}f quand n→∞.n\rightarrow \infty .

Exercice nIbu

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