Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : \[x_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(k)-\int_{1}^{n}f(t)dt.\]
1
Montrer que la suite \(\left( x_{n}\right) _{n\in \Nn}\) converge.
2
Montrer que la suite \(S_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(k)\) a une limite quand \(n\rightarrow \infty\) si et seulement si \(\int_{1}^{\infty }f\) converge, et que dans ce cas : \[\int_{n+1}^{\infty }f\leq \lim_{m\rightarrow \infty }\sum_{k=n+1}^{m}f(k)\leq \int_{n}^{\infty }f.\]
3
Montrer que si \(\int_{1}^{\infty }f\) diverge on a: \(S_{n}\backsim \int_{1}^{n}f\) quand \(n\rightarrow \infty .\)