Domaine de définition. Soit \(x\in\Rr\).

Si \(x < 0\), la fonction \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) n’est pas définie sur \([x,0[\subset[x,x^2]\) et \(f(x)\) n’est pas défini.

Si \(0< x < 1\), \([x^2,x]\subset]0,1[\). Donc la fonction \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) est continue sur \([x^2,x]\). Dans ce cas, \(f(x)\) existe et est de plus strictement positif car \(\ln t < 0\) pour tout \(t\) de \(]0,1[\).

Si \(x > 1\), \([x,x^2]\subset]1,+\infty[\). Donc la fonction \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) est continue sur \([x,x^2]\). Dans ce cas aussi, \(f(x)\) existe et est strictement positif.

Enfin, \(f(0)\) et \(f(1)\) n’ont pas de sens.

Dérivabilité. Soit \(I\) l’un des deux intervalles \(]0,1[\) ou \(]1,+\infty[\). La fonction \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) est continue sur \(I\). Soit \(F\) une primitive de cette fonction sur \(I\).

Si \(x\in]0,1[\), on a \([x^2,x]\subset]0,1[\) et donc \(f(x)=F(x^2)-F(x)\). De même, si \(x\in]1,+\infty[\).

On en déduit que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(D\). De plus, pour \(x\in D\),

\(f'(x) =2xF'(x^2) - F'(x) =\frac{2x}{\ln(x^2)}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}\).

Variations. \(f'\) est strictement positive sur \(]0,1[\cup]1,+\infty[\) et donc \(f\) est strictement croissante sur \(]0,1[\) et sur \(]1,+\infty[\) (mais pas nécessairement sur \(D\)).

Etude en \(0\). Soit \(x\in]0,1[\). On a \(0<x^2 < x < 1\) et de plus la fonction \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) est décroissante sur \([x^2,x]\subset]0,1[\) en tant qu’inverse d’une fonction strictement négative et strictement croissante sur \(]0,1[\). Donc, \(\frac{x-x^2}{\ln x}\leqslant\int_{x^2}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt\leqslant\frac{x-x^2}{\ln(x^2)}\) puis

\(\forall x\in]0,1[\), \(\frac{x^2-x}{2\ln x}\leqslant f(x)\leqslant\frac{x^2-x}{\ln x}\).

On en déduit que \(\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x) = 0\) et on peut prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f(0) = 0\) (on note encore \(f\) le prolongement).

Quand \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, \(f'(x) =\frac{x-1}{\ln x}\) tend vers 0. Ainsi,

- \(f\) est continue sur \([0,1[\),

- \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,1[\),

- \(f'\) a une limite réelle quand \(x\) tend vers \(0\) à savoir \(0\).

D’après un théorème classique d’analyse, \(f\) est de classe \(C^1\) sur \([0,1[\) et \(f'(0) = 0\).

Etude en 1. On a vu à l’exercice [ex:rou7bis] que \(\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=\ln2\) (la limite à droite en \(1\) se traite de manière analogue). On prolonge \(f\) par continuité en \(1\) en posant \(f(1) =\ln2\) (on note encore \(f\) le prolongement obtenu).

Ensuite quand \(x\) tend vers \(1\), \(f'(x)\) tend vers \(1\). Donc \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^+\) et \(f'(1)=1\).

En particulier, \(f\) est continue sur \(\Rr^+\) et d’après plus haut f est strictement croissante sur \(\Rr^+\).

Etude en \(+\infty\). Pour \(x > 1\), \(f(x)\geqslant{x^2-x}{\ln x}\). Donc \(f(x)\) et \(\frac{f(x)}{x}\) tendent vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). La courbe représentative de \(f\) admet en \(+\infty\) une branche parabolique de direction \((Oy)\).

Convexité. Pour \(x\in D\), \(f''(x)=\frac{\ln x-\frac{x-1}{x}}{\ln^2x}\).

En \(1\), en posant \(x = 1+h\) où \(h\) tend vers \(0\), on obtient

\(f''(1+h)=\frac{(1+h)\ln(1+h)-h}{(1+h)\ln^2(1+h)}=\frac{(1+h)\left(h-\frac{h^2}{2}+o(h^2)\right)-h}{h^2+o(h^2)}=\frac{1}{2}+o(1)\).

\(f\) est donc de classe \(C^2\) sur \(]0,+\infty[\) et \(f''(1) =\frac{1}{2}\).

Pour \(x\neq 1\), \(f''(x)\) est du signe de \(g(x)=\ln x - 1 +\frac{1}{x}\) dont la dérivée est \(g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}\). La fonction \(g\) est stictement décroissante sur \(]0,1]\) et strictement croissante sur \([1,+\infty[\). Donc pour \(x\neq1\), \(g(x)> g(1) = 0\). On en déduit que pour tout \(x\in]0,+\infty[\), \(f''(x) > 0\) et donc que \(f\) est strictement convexe sur \(\Rr^+\).

Graphe.

\[\]

exo7 5721