Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
1
Montrer que \(\int_{t=a}^b f(t)\,d t = (b-a)\frac {f(a)+f(b)}2 + \int_{t=a}^b \frac {(t-a)(t-b)}2f''(t)\,d t\).
2
Application : Soit \(f : {[a,b]} \to \R\), \(I = \int_{t=a}^b f(t)\,d t\), et \(I_n\) la valeur approchée de \(I\) obtenue par la méthode des trapèzes avec \(n\) intervalles. Démontrer que \(|I-I_n| \le \frac {\sup|f''| (b-a)^3}{12n^2}\).