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Montrer que $\int_{t=a}^b f(t)\,d t = (b-a)\frac {f(a)+f(b)}2 + \int_{t=a}^b \frac {(t-a)(t-b)}2f''(t)\,d t$.

Application : Soit $f : {[a,b]} \to \R$, $I = \int_{t=a}^b f(t)\,d t$, et $I_n$ la valeur approchée de $I$ obtenue par la méthode des trapèzes avec $n$ intervalles. Démontrer que $|I-I_n| \le \frac {\sup|f''| (b-a)^3}{12n^2}$.