Pour tout couple de réels \((a,b)\), la fonction \(f~:~x\mapsto\frac{1}{x^a\ln^bx}\) est continue et positive sur \([2,+\infty[\). Etudions l’intégrabilité de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).

1er cas. Si \(a > 1\), \(x^{(a+1)/2}f(x)=\frac{1}{x^{(a-1)/2}\ln^bx}\underset{x\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0\) car \(\frac{a-1}{2}>0\) et d’après un théorème de croissances comparées. Donc \(f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{=}o\left(\frac{1}{x^{(a+1)/2}}\right)\). Comme \(\frac{a+1}{2}>1\), la fonction \(x\mapsto\frac{1}{x^{(a+1)/2}}\) est intégrable sur un voisinage de \(+\infty\) et il en est de même de \(f\). Dans ce cas, \(f\) est intégrable sur \([2,+\infty[\).

2ème cas. Si \(a <1\), \(x^{(a+1)/2}f(x)=\frac{x^{(1-a)/2}}{\ln^bx}\underset{x\rightarrow+\infty}{\rightarrow}+\infty\) car \(\frac{1-a}{2}>0\) et d’après un théorème de croissances comparées. Donc \(f(x)\) est prépondérant devant \(\frac{1}{x^{(a+1)/2}}\) en \(+\infty\). Comme \(\frac{a+1}{2}<1\), la fonction \(x\mapsto\frac{1}{x^{(a+1)/2}}\) n’est pas intégrable sur un voisinage de \(+\infty\) et il en est de même de \(f\). Dans ce cas, \(f\) n’est pas intégrable sur \([2,+\infty[\).

3ème cas. Si \(a = 1\). Pour \(X > 2\) fixé , en posant \(t =\ln x\) et donc \(dt=\frac{dx}{x}\) on obtient

\(\int_{2}^{X}\frac{1}{x\ln^b}\;dx=\int_{\ln2}^{\ln X}\frac{dt}{t^b}\).

Puisque \(\ln X\) tend vers \(+\infty\) quand \(X\) tend vers \(+\infty\) et que les fonctions considérées sont positives, f est intégrable sur \([2, +\infty[\) si et seulement si \(b > 1\).

En résumé ,

(En particulier, la fonction \(x\mapsto\frac{1}{x\ln x}\) n’est pas intégrable sur voisinage de \(+\infty\) bien que négligeable devant \(\frac{1}{x}\) en \(+\infty\)). Pour tout réel \(a\), la fonction \(f~:~x\mapsto(\tan x)^a\) est continue et strictement positive sur \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\). De plus, pour tout réel \(x\) de\(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), on a \(f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) =\frac{1}{f(x)}\).

Etude en \(0\) à droite. \(f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}x^a\). Donc \(f\) est intégrable sur un voisinage de \(0\) à droite si et seulement si \(a > -1\).

Etude en \(\frac{\pi}{2}\) à gauche.\(f(x)=\frac{1}{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\sim}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^{-a}\). Donc \(f\) est intégrable sur un voisinage de \(\frac{\pi}{2}\) à gauche si et seulement si \(a < 1\).

En résumé, \(f\) est intégrable sur \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) si et seulement si \(-1 < a < 1\). Pour \(x\geqslant1\), \(1+\frac{1}{x}\) est défini et strictement positif. Donc pour tout couple \((a,b)\) de réels, la fonction \(f~:~ x\mapsto\left(1+\frac{1}{x}\right)^{1+\frac{1}{x}}-a -\frac{b}{x}\) est continue sur \([1,+\infty[\).

En \(+\infty\), \(\left(1+\frac{1}{x}\right)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) =\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=\frac{1}{x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)\). Donc

\(f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{=}(1-a)+\frac{1-b}{x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)\).

Si \(a\neq 1\), \(f\) a une limite réelle non nulle en \(+\infty\) et n’est donc pas intégrable sur \([1,+\infty[\).

Si \(a = 1\) et \(b\neq 1\), \(f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1-b}{x}\). En particulier, \(f\) est de signe constant sur un voisinage de \(+\infty\) et n’est pas intégrable sur \([1,+\infty[\).

Si \(a = b = 1\), \(f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{=}O\left(\frac{1}{x^2}\right)\) et dans ce cas, \(f\) est intégrable sur \([1,+\infty[\).

En résumé, \(f\) est intégrable sur \([1,+\infty[\) si et seulement si \(a = b = 1\). Pour tout couple \((a,b)\) de réels, la fonction \(f~:~ x\mapsto\frac{1}{x^a(1+x^b)}\) est continue et positive sur \(]0,+\infty[\).

Etude en \(0\).

-Si \(b>0\), \(f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{x^a}\), et donc \(f\) est intégrable sur un voisinage de \(0\) si et seulement si \(a<1\),

-si \(b=0\), \(f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{2x^a}\), et donc \(f\) est intégrable sur un voisinage de \(0\) si et seulement si \(a<1\),

-si \(b<0\), \(f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{x^{a+b}}\), et donc \(f\) est intégrable sur un voisinage de \(0\) si et seulement si \(a+b<1\).

Etude en \(+\infty\).

-Si \(b>0\), \(f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{x^{a+b}}\), et donc \(f\) est intégrable sur un voisinage de \(+\infty\) si et seulement si \(a+b>1\),

-si \(b=0\), \(f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{2x^a}\), et donc \(f\) est intégrable sur un voisinage de \(+\infty\) si et seulement si \(a>1\),

-si \(b<0\), \(f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{x^{a}}\), et donc \(f\) est intégrable sur un voisinage de \(+\infty\) si et seulement si \(a>1\).

En résumé, \(f\) est intégrable sur \(]0,+\infty[\) si et seulement si ((\(b\geqslant0\) et \(a<1\)) ou (\(b<0\) et \(a+b<1\))) et ((\(b>0\) et \(a+b>1\)) ou (\(b\leqslant0\) et \(a>1\))) ce qui équivaut à (\(b>0\) et \(a+b>1\) et \(a<1\)) ou (\(b<0\) et \(a>1\) et \(a+b<1\)).

Représentons graphiquement l’ensemble des solutions. La zone solution est la zone colorée.

\[\]

1) () I* \(\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^a\ln^bx}\;dx\) (Intégrales de Bertrand)	2) ()** \(\int_{0}^{\pi/2}(\tan x)^a\;dx\)
3) ()** \(\int_{1}^{+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{1+\frac{1}{x}}- a-\frac{b}{x}\right) dx\)	4) ()* \(\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^a(1+x^b)}\;dx\)

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