Pour tout couple de réels $(a,b)$ , la fonction $f~:~x\mapsto\frac{1}{x^a\ln^bx}$ est continue et positive sur $[2,+\infty[$ . Etudions l’intégrabilité de $f$ au voisinage de $+\infty$ .

1er cas. Si $a > 1$ , $x^{(a+1)/2}f(x)=\frac{1}{x^{(a-1)/2}\ln^bx}\underset{x\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0$ car $\frac{a-1}{2}>0$ et d’après un théorème de croissances comparées. Donc $f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{=}o\left(\frac{1}{x^{(a+1)/2}}\right)$ . Comme $\frac{a+1}{2}>1$ , la fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{(a+1)/2}}$ est intégrable sur un voisinage de $+\infty$ et il en est de même de $f$ . Dans ce cas, $f$ est intégrable sur $[2,+\infty[$ .

2ème cas. Si $a <1$ , $x^{(a+1)/2}f(x)=\frac{x^{(1-a)/2}}{\ln^bx}\underset{x\rightarrow+\infty}{\rightarrow}+\infty$ car $\frac{1-a}{2}>0$ et d’après un théorème de croissances comparées. Donc $f(x)$ est prépondérant devant $\frac{1}{x^{(a+1)/2}}$ en $+\infty$ . Comme $\frac{a+1}{2}<1$ , la fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{(a+1)/2}}$ n’est pas intégrable sur un voisinage de $+\infty$ et il en est de même de $f$ . Dans ce cas, $f$ n’est pas intégrable sur $[2,+\infty[$ .

3ème cas. Si $a = 1$ . Pour $X > 2$ fixé , en posant $t =\ln x$ et donc $dt=\frac{dx}{x}$ on obtient

$\int_{2}^{X}\frac{1}{x\ln^b}\;dx=\int_{\ln2}^{\ln X}\frac{dt}{t^b}$ .

Puisque $\ln X$ tend vers $+\infty$ quand $X$ tend vers $+\infty$ et que les fonctions considérées sont positives, f est intégrable sur $[2, +\infty[$ si et seulement si $b > 1$ .

En résumé ,

la fonction $x\mapsto\frac{1}{x^a\ln^bx}$ est intégrable sur $[2,+\infty[$ si et seulement si $a > 1$ ou ( $a=1$ et $b > 1$ ).

(En particulier, la fonction $x\mapsto\frac{1}{x\ln x}$ n’est pas intégrable sur voisinage de $+\infty$ bien que négligeable devant $\frac{1}{x}$ en $+\infty$ ). Pour tout réel $a$ , la fonction $f~:~x\mapsto(\tan x)^a$ est continue et strictement positive sur $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ . De plus, pour tout réel $x$ de $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ , on a $f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) =\frac{1}{f(x)}$ .

Etude en $0$ à droite. $f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}x^a$ . Donc $f$ est intégrable sur un voisinage de $0$ à droite si et seulement si $a > -1$ .

Etude en $\frac{\pi}{2}$ à gauche. $f(x)=\frac{1}{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\sim}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^{-a}$ . Donc $f$ est intégrable sur un voisinage de $\frac{\pi}{2}$ à gauche si et seulement si $a < 1$ .

En résumé, $f$ est intégrable sur $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ si et seulement si $-1 < a < 1$ . Pour $x\geqslant1$ , $1+\frac{1}{x}$ est défini et strictement positif. Donc pour tout couple $(a,b)$ de réels, la fonction $f~:~ x\mapsto\left(1+\frac{1}{x}\right)^{1+\frac{1}{x}}-a -\frac{b}{x}$ est continue sur $[1,+\infty[$ .

En $+\infty$ , $\left(1+\frac{1}{x}\right)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) =\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=\frac{1}{x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$ . Donc

$f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{=}(1-a)+\frac{1-b}{x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$ .

Si $a\neq 1$ , $f$ a une limite réelle non nulle en $+\infty$ et n’est donc pas intégrable sur $[1,+\infty[$ .

Si $a = 1$ et $b\neq 1$ , $f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1-b}{x}$ . En particulier, $f$ est de signe constant sur un voisinage de $+\infty$ et n’est pas intégrable sur $[1,+\infty[$ .

Si $a = b = 1$ , $f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{=}O\left(\frac{1}{x^2}\right)$ et dans ce cas, $f$ est intégrable sur $[1,+\infty[$ .

En résumé, $f$ est intégrable sur $[1,+\infty[$ si et seulement si $a = b = 1$ . Pour tout couple $(a,b)$ de réels, la fonction $f~:~ x\mapsto\frac{1}{x^a(1+x^b)}$ est continue et positive sur $]0,+\infty[$ .

Etude en $0$ .

-Si $b>0$ , $f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{x^a}$ , et donc $f$ est intégrable sur un voisinage de $0$ si et seulement si $a<1$ ,

-si $b=0$ , $f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{2x^a}$ , et donc $f$ est intégrable sur un voisinage de $0$ si et seulement si $a<1$ ,

-si $b<0$ , $f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{x^{a+b}}$ , et donc $f$ est intégrable sur un voisinage de $0$ si et seulement si $a+b<1$ .

Etude en $+\infty$ .

-Si $b>0$ , $f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{x^{a+b}}$ , et donc $f$ est intégrable sur un voisinage de $+\infty$ si et seulement si $a+b>1$ ,

-si $b=0$ , $f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{2x^a}$ , et donc $f$ est intégrable sur un voisinage de $+\infty$ si et seulement si $a>1$ ,

-si $b<0$ , $f(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{1}{x^{a}}$ , et donc $f$ est intégrable sur un voisinage de $+\infty$ si et seulement si $a>1$ .

En résumé, $f$ est intégrable sur $]0,+\infty[$ si et seulement si (( $b\geqslant0$ et $a<1$ ) ou ( $b<0$ et $a+b<1$ )) et (( $b>0$ et $a+b>1$ ) ou ( $b\leqslant0$ et $a>1$ )) ce qui équivaut à ( $b>0$ et $a+b>1$ et $a<1$ ) ou ( $b<0$ et $a>1$ et $a+b<1$ ).

Représentons graphiquement l’ensemble des solutions. La zone solution est la zone colorée.

\[\]

1) () I* $\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^a\ln^bx}\;dx$ (Intégrales de Bertrand)	2) ()** $\int_{0}^{\pi/2}(\tan x)^a\;dx$
3) ()** $\int_{1}^{+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{1+\frac{1}{x}}- a-\frac{b}{x}\right) dx$	4) ()* $\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^a(1+x^b)}\;dx$

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