\(f\) est continue sur le segment \([0,1]\) et est donc bornée sur ce segment. Soit \(M\) un majorant de \(|f|\) sur \([0,1]\). Pour \(n\in\Nn\),

\[|u_n|\leq\int_{0}^{1}t^n|f(t)|\;dt\leq M\int_{0}^{1}t^n\;dt=\frac{M}{n+1},\]

et comme \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{M}{n+1}=0\), on a montré que \(\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0\).

Soit \(n\in\Nn\). Puisque \(f\) est de classe \(C^1\) sur \([0,1]\), on peut effectuer une intégration par parties qui fournit

\[u_n=\left[\frac{t^{n+1}}{n+1}f(t)\right]_{0}^{1}-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}f'(t)\;dt=\frac{f(1)}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}f'(t)\;dt.\]

Puisque \(f'\) est continue sur \([0,1]\), \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{0}^{1}t^{n+1}f'(t)\;dt=0\) ou encore \(-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}f'(t)\;dt=o(\frac{1}{n})\). D’autre part, puisque \(f(1)\neq0\), \(\frac{f(1)}{n+1}\sim\frac{f(1)}{n}\) ou encore \(\frac{f(1)}{n+1}=\frac{f(1)}{n}+o(\frac{1}{n})\). Finalement, \(u_n=\frac{f(1)}{n}+o(\frac{1}{n})\), ou encore

\[u_n\sim\frac{f(1)}{n}.\]

exo7 5445