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Soit $f$ une application de classe $C^1$ sur $[0,1]$ telle que $f(1)\neq0$.

Pour $n\in\Nn$, on pose $u_n=\int_{0}^{1}t^nf(t)\;dt$. Montrer que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$ puis déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ (étudier $\lim_{n\rightarrow +\infty}nu_n$).

Mêmes questions en supposant que $f$ est de classe $C^2$ sur $[0,1]$ et que $f(1)=0$ et $f'(1)\neq0$.