Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction continue sur \([a,b]\) (\(a<b\)).
1
On suppose que \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x\in [a,b]\), et que \(f(x_0)>0\) en un point \(x_0\in [a,b]\). Montrer que \(\int_a^b f(x) d x>0\). En déduire que : <<si \(f\) est une fonction continue positive sur \([a,b]\) telle que \(\int_a^b f(x) d x=0\) alors \(f\) est identiquement nulle>>.
2
On suppose que \(\int_a^b f(x) d x=0\). Montrer qu’il existe \(c\in [a,b]\) tel que \(f(c)=0\).
3
Application: on suppose que \(f\) est une fonction continue sur \([0,1]\) telle que \(\int_0^1 f(x) dx=\frac 12\). Montrer qu’il existe \(d\in [0,1]\) tel que \(f(d)=d\).