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On suppose que $f(x) \ge 0$ pour tout $x\in [a,b]$, et que $f(x_0)>0$ en un point $x_0\in [a,b]$. Montrer que $\int_a^b f(x) d x>0$. En déduire que : <<si $f$ est une fonction continue positive sur $[a,b]$ telle que $\int_a^b f(x) d x=0$ alors $f$ est identiquement nulle>>.

On suppose que $\int_a^b f(x) d x=0$. Montrer qu’il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=0$.

Application: on suppose que $f$ est une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $\int_0^1 f(x) dx=\frac 12$. Montrer qu’il existe $d\in [0,1]$ tel que $f(d)=d$.