exo7 2315

Soit $f$ une fonction continue définie sur un intervalle borné $[a,b] \subset \Rr$, telle que $$\int_a^b f(t)\,d t = (b-a) \min_{x\in [a,b]} f(x).$$ Montrer que $f$ est constante.

Soient $u$, $v$, deux fonctions continues sur $[a,b]$, à valeurs dans $\Cc$. Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz $$\int_a^b |u(t) v(t)| \,d t \le \left( \int_a^b |u(t)|^2 \right)^{1/2} \left(\int_a^b |v(t)|^2 \right)^{1/2}.$$ Indication : poser, pour $\lambda \in \Cc$ arbitraire, $f_\lambda (t) = |\lambda u(t) +v(t)|^2$ et appliquer la question précédente.

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

Soit $C([a,b])$ l’espace des fonctions continues sur $[a,b]$, à valeurs réelles. Montrer que $$u \in C([a,b]) \mapsto \left(\int_a^b u(t)^2\,d t \right)^{1/2}$$ est une norme sur $C([a,b])$.