Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné \([a,b] \subset \Rr\), telle que \[\int_a^b f(t)\,d t = (b-a) \min_{x\in [a,b]} f(x).\] Montrer que \(f\) est constante.
Soient \(u\), \(v\), deux fonctions continues sur \([a,b]\), à valeurs dans \(\Cc\). Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz \[\int_a^b |u(t) v(t)| \,d t \le \left( \int_a^b |u(t)|^2 \right)^{1/2} \left(\int_a^b |v(t)|^2 \right)^{1/2}.\] Indication : poser, pour \(\lambda \in \Cc\) arbitraire, \(f_\lambda (t) = |\lambda u(t) +v(t)|^2\) et appliquer la question précédente.
Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?
Soit \(C([a,b])\) l’espace des fonctions continues sur \([a,b]\), à valeurs réelles. Montrer que \[u \in C([a,b]) \mapsto \left(\int_a^b u(t)^2\,d t \right)^{1/2}\] est une norme sur \(C([a,b])\).