La fonction $x\mapsto x(f(x) - f(x+1))$ est continue et positive sur $[1,+\infty[$ .

Soit $X\geqslant 1$ .

$\begin{align*}\ensuremath \int_{1}^{X}x(f(x) - f(x+1))\;dx&=\int_{1}^{X}xf(x)\;dx -\int_{2}^{X+1}(x-1)f(x)\;dx =\int_{1}^{X}xf(x)\;dx - \int_{2}^{X+1}xf(x)\;dx +\int_{2}^{X+1}f(x)\;dx\\ &=\int_{1}^{2}xf(x)\;dx -\int_{X}^{X+1}xf(x)\;dx +\int_{2}^{X+1} f(x)\;dx. \end{align*}$

Maintenant $0\leqslant\int_{X}^{X+1}xf(x)\;dx\leqslant(X+1-X)(X+1)f(X)\leqslant2Xf(X)$ . D’après 1), cette dernière expression tend vers $0$ quand $X$ tend vers $+\infty$ . Donc, quand $X$ tend vers $+\infty$ , $\int_{1}^{X}x(f(x) - f(x+1))\;dx$ tend vers $\int_{1}^{2}xf(x)\;dx+\int_{2}^{+\infty} f(x)\;dx$ .

Puisque la fonction $x\mapsto x(f(x) - f(x+1))$ est continue et positive sur $[1,+\infty[$ , on sait que $x\mapsto x(f(x) - f(x+1))$ est intégrable sur $[1,+\infty[$ si et seulement si la fonction $X\mapsto\int_{1}^{X}x(f(x) - f(x+1))\;dx$ a une limite réelle quand $X$ tend vers $+\infty$ . Donc la fonction $x\mapsto x(f(x) - f(x+1))$ est intégrable sur $[1,+\infty[$ et

$\int_{1}^{+\infty}x(f(x) - f(x+1))\;dx =\int_{1}^{2}xf(x)\;dx +\int_{2}^{+\infty}f(x)\;dx$ .

exo7 5723